6. Ранг матрицы.

С данной прямоугольной матрицей связывается множество ее строк и множество ее столбцов. Каждое из них имеет ранг. Замечательно то, что эти ранги равны.

Теорема 10. Ранг множества строк прямоугольной матрицы равен рангу множества ее столбцов.

Доказательство. Пусть

Пусть ранг множества ее строк равен k. Тогда найдется базис из k строк, т. е. такое линейно независимое множество строк, что все остальные строки являются их линейными комбинациями. Для упрощения записи будем считать, что это первые k строк, иначе мы изменили бы нумерацию. Введем в рассмотрение матрицу из этих строк

Столбцы матрицы А являются отрезками столбцов матрицы А.

Выберем базис столбцов матрицы А. Пусть число столбцов, составляющих базис, равно . Все столбцы матрицы А являются их линейными комбинациями. Ясно, что . Пополним выбранные базисные столбцы до полных столбцов матрицы А. Получившиеся столбцы линейно независимы, и, в силу предложения 4, все столбцы матрицы А являются их линейными комбинациями. Таким образом, мы построили базис множества столбцов матрицы А, состоящий из столбцов, причем . Итак, ранг множества столбцов матрицы А не превосходит ранга k множества ее строк. Но по тем же соображениям ранг k множества строк не превосходит ранга множества столбцов. Следовательно, эти ранги равны. Их величина называется рангом матрицы.