2. Структурные константы алгебры.

Для того чтобы описать правило умножения в данной конечномерной алгебре, достаточно задать «таблицу умножения» для какого-либо ее базиса, т. е. записать произведение каждой пары элементов выбранного базиса в виде линейной комбинации его элементов: (мы пользуемся тензорными обозначениями).

Константы называются структурными константами алгебры. Покажем, что они составляют дважды ковариантный и один раз контравариантный тензор. Пусть — новый базис алгебры. Тогда Далее, , так что новые структурные константы получены из исходных по правилу преобразования дважды ковариантного и один раз контравариантного тензора. По этой причине набор структурных констант называют тензором.

Если алгебры А к В изоморфны, то в соответствующих (в силу изоморфизма) базисах структурные константы совпадают. Ясно и обратное, если у двух алгебр структурные константы совпадают, то сопоставление базисных элементов осуществляет изоморфизм алгебр. Поэтому для изоморфизма двух алгебр необходимо и достаточно, чтобы в них существовали базисы, определяющие одинаковые структурные тензоры. Следовательно, для того чтобы алгебры, заданные структурными тензорами в некоторых базисах, были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы эти структурные тензоры были связаны соотношением при некоторых