§ 5. Группы преобразований

1. Определения. Пусть задано некоторое множество М и группа G, «действующая» на элементы этого множества; Точнее, это значит, что определено действие (мы будем обозначать его как умножение), сопоставляющее элементу из М и элементу из G новый элемент из М. При этом требуется выполнение следующих аксиом:

1. при любом обозначает единицу группы

2. при любых из

Здесь элементы записываются как операторы, действующие на элементы из М справа. Принята также левая запись, при которой действие на записывается в форме При левой записи аксиомы записываются в виде:

1.

2.

Правая и левая записи совершенно равносильны, но в действии произведения элементов группы на теМ имеется разница. При правой записи первым действующим является левый сомножитель, а затем действует правый. При левой записи наоборот первым действующим является правый сомножитель. В этом параграфе мы будем пользоваться правой записью. Иногда будем применять левую, и фактически это уже было сделано в другой ситуации при рассмотрении гомоморфизмов.

Множество М, на котором определено действие группы G, носит название -операторного множества, или, короче, -множества. Его элементы будем называть точками.

Пусть — некоторый элемент из М. Множество , т. е. множество всех при , называется орбитой, порожденной точкой . Точка лежащая на орбите, порожденной точкой , порождает ту же орбиту. Действительно, пусть Тогда Таким образом, орбиты могут либо совпадать, либо не иметь общих элементов. Тем самым множество разбивается на орбиты. Каждая орбита, в свою очередь, является -операторным множеством, состоящим из одной орбиты, именно, себя самой. Если - множество М состоит из одной орбиты, то говорят, что G действует на М транзитивно, а само множество М называют однородным пространством по отношению к группе

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. М — множество точек на плоскости, Q — группа векторов относительно сложения. Действие вектора на точку определяется как перенос точки на этот вектор.

Ясно, что здесь одна орбита, так что множество точек на плоскости является однородным пространством по отношению к переносам на векторы, т. е. параллельным переносам.

Пример 2. М — множество точек на плоскости, G — группа всех движений плоскости.

Это тоже однородное пространство.

Пример 3. М — множество точек на плоскости, G — группа вращений вокруг фиксированной точки 0.

Здесь орбитами будут окружности с центром в 0 и сама точка 0.