§ 2. Полиномы от одной буквы над факториальным кольцом

1. Наибольший общий делитель элементов факториального кольца.

Пусть А — факториальное кольцо. Наибольшим общим делителем двух (или нескольких) элементов А называется общий делитель, делящийся на любой общий делитель тех же элементов. Докажем, что для любых элементов факториального кольца наибольший общий делитель существует. Доказательство проведем для двух элементов (обобщение на любое конечное множество элементов тривиально). Пусть — разложение а и b на неразложимые множители (здесь — единицы, неразложимы, допускаются нулевые показатели). Тогда любой общий делитель элементов а и b содержит каждое с показателем, не превосходящим как так и . Поэтому будет наибольшим общим делителем.

Заметим, что линейного представления наибольшего общего делителя в факториальном кольце может и не быть. Так, в кольце элементы 2 и неразложимы, их наибольший общий делитель равен 1, но равенство при невозможно, ибо полиномы в правой части равенства имеют четный свободный член.

2. Сравнения в факториальном кольце.

Пусть А — факториальное кольцо и m — некоторый его элемент. Элементы называются сравнимыми по модулю что обозначается , если их разность а — b делится на в кольце А. Ясно, что все элементы А разбиваются на классы попарно сравнимых. Далее, очевидные предложения: если , то позволяют превратить множество классов в кольцо, при естественном определении действий сложения и умножения. Это кольцо называется кольцом вычетов по модулю m и обозначается

Пр едложение 1. Кольцо вычетов факториального кольца по неразложимому элементу есть область целостности.

Доказательство. Пусть — содержащие их классы по модулю . Допустим, что . Это означает, что . Делится на . Разложим а и b на неразложимые множители. Неразложимый элемент должен входить в объединение неразложимых множителей, входящих в а и b, в силу однозначности разложения. Следовательно, входит в а или в b, т. е. или .

Заметим, что для колец кольцо вычетов было не только областью целостности, но даже полем. Вообще же это не так. Например, для кольца элементы 2 и неразложимы. есть кольцо полиномов над полем вычетов по модулю изоморфно кольцу комплексных чисел с целыми компонентами. В обоих случаях это не поля,

3. Лемма Гаусса.

Полином из кольца полиномов с коэффициентами из факториального кольца называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1.

Если , то полиномы из разбиваются на классы сравнимых по модулю , если отнести в один класс те, разность которых имеет коэффициенты, делящиеся на т. Ясно, что для классов единственным образом определяются сложение и умножение, по отношению к которым классы образуют кольцо, изоморфное кольцу полиномов над кольцом

Предложение 2 (лемма Гаусса). Произведение двух примитивных полиномов из есть примитивный полином.

Доказательство. Допустим, что произведение двух примитивных полиномов не примитивно. Пусть — неразложимый элемент, входящий во все коэффициенты Переходов кольцо классов вычетов по в кольце получим Но это кольцо есть кольцо полиномов над областью целостности и потому само является областью целостности. Поэтому либо либо что противоречит примитивности

Ясно, что лемма остается справедливой для произведения любого числа примитивных полиномов.

4. Факториальность кольца полиномов над факториальным кольцом.

Пусть — факториальное кольцо и К — его поле частных.

Предложение 3. Если — примитивный полином и такое, что то .

Доказательство. Пусть . Без нарушения общности можно считать, что н. о. д. равен 1, ибо если он отличен от 1, то у - можно сократить. Пусть При любом . В силу факториальности А каждый неразложимый множитель d входит в ибо общих неразложимых множителей не имеют.

Следовательно, d — обратимый элемент кольца А, иначе f не был бы примитивен, так что

Пр едложение 4 (теорема Гаусса). Если полином приводим над полем К, то он может быть разложен и над кольцом А.

Пусть , где . Запишем в виде и где — примитивные полиномы в Это всегда можно сделать. Далее, . В силу леммы Гаусса и предложения . Тем самым теорема доказана.

Обратимся теперь к разложению полинома на неразложимые множители. Пусть и над полем К разложение f на неприводимые множители есть (равные или ассоциированные множители допускаются). Каждый представлен в виде где примитивен. Тогда , где и, в силу леммы Гаусса и предложения Сомножители определены однозначно, с точностью до множителей, являющихся единицами кольца А.

Они неразложимы, ибо неприводимы над К и примитивны, так что не делятся ни на полиномы из ни на константы из А. Далее, с можно разложить на неразложимые в А множители. Получим

Это разложение на неразложимые множители однозначно.

Тем самым мы доказали факториальность кольца полиномов от одной буквы над факториальным кольцом.

Отсюда немедленно, применением индукции, заключаем, что кольцо полиномов от любого конечного множества букв над факториальным кольцом факториально. В частности, факториальны кольца при любом поле К.

5. Кольца главных идеалов.

Подмножество М коммутативного ассоциативного кольца А называется идеалом этого кольца, если оно образует группу относительно сложения и допускает умножение на любой элемент из А. Иными словами, если и , то .

(Заметим, что понятие идеала естественно распространяется на любые кольца, только в случае некоммутативности, идеалы разбиваются на три сорта — правые, левые и двусторонние, в зависимости от того, какие умножения на элементы из А допускаются.) Ясно, что если то множество всех кратных та элемента образует идеал. Такой идеал носит название главного идеала, порожденного элементом .

Кольцо называется кольцом главных идеалов, если все его идеалы главные.

Предложение 5 (теорема об обрыве цепочки делителей). Пусть — бесконечная последовательность элементов кольца А главных идеалов такая, что делится на

Тогда, начиная с некоторого места, члены последовательности ассоциированы.

Доказательство. Рассмотрим главные идеалы Так как делится на , то и, следовательно, По тем же соображениям при всех i. Рассмотрим объединение В всех идеалов Если два элемента из В, то они входят в идеалы при некоторых i и и, если оба входят в идеал Следовательно, при любом входят в , а следовательно, и в В. Таким образом, множество В есть идеал. Кольцо А есть кольцо главных идеалов и, следовательно, при некотором Элемент b принадлежит одному из идеалов пусть, для определенности, идеалу . Тогда при всех . Поэтому b делится на все . С другой стороны, все принадлежат и, следовательно, все делятся на b. Итак, b делится на при делится на b. Поэтому при ассоциированы с b и потому ассоциированы друг с другом. Теорема доказана.

Из теоремы следует, что если имеется последовательность элементов в которой каждый член последовательности делится на следующий и не ассоциирован с ним, то такая последовательность конечна.

6. Существование разложения на неразложимые множители в кольце главных идеалов.

Предложение 6. Любой элемент, не являющийся единицей в кольце главных идеалов, делится по крайней мере на один неразложимый элемент.

Доказательство. Пусть А — кольцо главных идеалов и Если а неразложим, то нечего доказывать. Пусть а причем а и b не являются единицами кольца. Тогда а делится на и а не ассоциирован с Если неразложим, то теорема для а доказана. Если разложим, то найдется такой, что делится на не ассоциирован с . Если неразложим, теорема для а доказана, ибо а делится на Если разложим, повторяем рассуждение и т. д. Последовательность оборвется на каком-то шагу, что и значит, что мы придем к неразложимому элементу а, на который делятся все предшествующие, включая а. Предложение доказано.

7. Наибольший общий делитель элементов кольца главных идеалов.

Предложение 7. Для любых двух элементов кольца А главных идеалов (и для любого конечного множества ) существует общий делитель d, допускающий линейное представление и, следовательно, делящийся на любой общий делитель

Такой общий делитель называется наибольшим общим делителем.

Доказательство. Рассмотрим множество элементов Ясно, что М есть идеал, содержащий (и ими порожденный, т. е. наименьший идеал, содержащий ). Следовательно, где d — один из элементов М. Все элементы идеала М делятся на d, в частности, делятся на d. Но d, как и все элементы множества М, имеет линейное представление при некоторых Ясно, что d делится на любой общий делитель ибо правая часть на него делится. Предложение доказано. (Для доказательства предложения для , а нужно рассмотреть )

Из линейного представления наибольшего общего делителя следует критерий взаимной простоты элементов — для того чтобы а были взаимно просты, необходимо и достаточно существование таких , что Из этого критерия выводятся свойства взаимно простых элементов, в частности, если делится на b, а и b взаимно, просты, то делится на b. Из этих свойств следуют свойства неразложимых элементов, аналогичные свойствам простых чисел и неприводимых полиномов, в частности предложение о том, что если произведение делится на неразложимый элемент , то на него делится один из сомножителей. Наконец, справедлива

Теорема 8. Разложение элемента кольца главных идеалов на неразложимые множители единственно с точностью до порядка следования сомножителей и ассоциированности.

Тем самым, любое кольцо главных идеалов является факториальным кольцом.

Заметим, что кольцо вычетов кольца главных идеалов по неразложимому элементу является полем. Действительно, если а принадлежит ненулевому классу по модулю , т. е. не делится на , то взаимно просты и найдутся такие и, что так что класс, содержащий и, есть обратный для класса, содержащего а.

Оглянувшись назад, мы увидим, что теория делимости в кольце Z целых чисел и в кольце полиномов над полем фактически основывалась на том, что эти кольца являются кольцами главных идеалов. Именно, рассматривались идеалы относительно которых устанавливалось, что они главные.

Средством для этого была «теорема о делении с остатком», заключавшаяся в том, что для элементов а и существуют элементы такие, что , причем в некотором смысле меньше чем b. Уточняет это обстоятельство следующее определение:

Кольцо А называется евклидовым, если для любых элементов а и существуют q и такие, что где — функция на А с неотрицательными целыми значениями (иногда еще дополненными символом ).

В кольце целых чисел роль играла абсолютная величина числа, в кольце полиномов — степень полинома.

Всякое евклидово кольцо есть кольцо главных идеалов. Действительно, пусть М — идеал евклидова кольца. Обозначим через d отличный от нуля элемент идеала, в котором функция имеет наименьшее значение. Тогда все элементы идеала М делятся на d, т. е. ибо иначе для остатка от деления какого-либо элемента а на d имели бы