Главная > Математика > Лекции по алгебре
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10. Некоторые следствия.

Предложение 11. Характеристический полином оператора на примарном пространстве равен степени соответствующего неприводимого полинома с показателем, равным сумме показателей в минимальных полиномах для циклических слагаемых.

Действительно, характеристический полином на прямой сумме инвариантных подпространств равен произведению характеристических полиномов на этих подпространствах. Примарное пространство разлагается в прямую сумму циклических подпространств, и на каждом циклическом подпространстве характеристический полином равен минимальному. Минимальный полином оператора на каждом примарном циклическом слагаемом есть степень неприводимого полинома, именно того, степенью которого является минимальный полином примарного пространства.

Предложение 12. Пусть S — пространство с оператором и — каноническое разложение характеристического полинома . Тогда примарные сомножители равны характеристическим полиномам оператора на полных примарных прямых слагаемых.

Действительно, характеристический полином оператора 5 на всем пространстве равен произведению характеристических полиномов на полных примарных прямых слагаемых. Эти полиномы равны степеням неприводимых полиномов, различных для различных прямых слагаемых. Следовательно, произведение этих характеристических полиномов есть каноническое разложение характеристического полинома на всем пространстве.

Предложение 13. Инвариантные подпространства примарного циклического пространства S с характеристическим полиномом суть составляющие убывающую цепочку

Доказательство. Пусть и — вектор, порождающий S. Тогда все векторы из имеют вид , где - полиномы из . Пусть Р — инвариантное подпространство пространства S и — такой вектор из Р, для которого полином делится на возможно меньшую степень полинома . Пусть эта степень равна так что причем не делится на Полином взаимно прост с , так что существуют такие полиномы , что . Тогда и, ибо

Следовательно, принадлежит пространству Р и порождает его, ибо полиномы для элементов из Р делятся на

Таким образом, при некотором Включения тривиальны в силу инвариантности всех

Предложение 14. Примарное циклическое пространство неразложимо в сумму правильных инвариантных подпространств.

Действительно, если и - два инвариантных подпространства, то одно из них содержится в другом, пусть .

Таким образом, разложение пространства в прямую сумму примарных циклических подпространств окончательное, полученные прямые слагаемые уже не разлагаются в прямую сумму инвариантных подпространств.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление