Главная > Математика > Лекции по алгебре
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Условие линейной зависимости множества строк квадратной матрицы.

Теорема 11. Для линейной зависимости множества строк квадратной матрицы необходимо и достаточно обращение в нуль ее определителя.

Доказательство. Необходимость. Допустим, что , где

Равенство где — строки А, равносильно системе линейных уравнений

которая имеет единственное нулевое решение, ибо . Иными словами, если , то строки А линейно независимы, так что для линейной зависимости необходимо, чтобы

Достаточность. Доказательство достаточности проведем методом математической индукции по порядку матрицы А. Для утверждение теоремы очевидно, ибо равенство означает, что А состоит из нулевого элемента. Пусть для матриц порядка теорема доказана, и в этом предположении докажем ее для матриц порядка m. Без нарушения общности можно считать Обозначим через строки матрицы А и введем в рассмотрение строки

По свойству определителей

Далее, следовательно, .

По индуктивному предположению, линейно зависимы, а тогда линейно зависимы и строки с теми же коэффициентами. Итак, существуют не равные одновременно нулю коэффициенты такие, что и тогда

Теорема полностью доказана.

Ясно, что то же условие является необходимым и достаточным для линейной зависимости столбцов матрицы. Отсюда непосредственно следует, что верна следующая теорема.

Теорема 12. Для существования нетривиальных решений системы линейных однородных уравнений с неизвестными не только необходимо, но и достаточно, чтобы определитель матрицы коэффициентов системы был равен нулю.

Напомним, что необходимость была установлена выше как следствие из теоремы Крамера. Достаточность следует из того, что отыскание решения системы

равносильно отысканию коэффициентов линейной зависимости столбцов матрицы коэффициентов системы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление