| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
 |
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
Макеты страниц
7. Условие линейной зависимости множества строк квадратной матрицы.
Теорема 11. Для линейной зависимости множества строк квадратной матрицы необходимо и достаточно обращение в нуль ее определителя.
Доказательство. Необходимость. Допустим, что 
, где
Равенство 
где 
— строки А, равносильно системе линейных уравнений
которая имеет единственное нулевое решение, ибо 
. Иными словами, если 
, то строки А линейно независимы, так что для линейной зависимости необходимо, чтобы 
Достаточность. Доказательство достаточности проведем 
методом математической индукции по порядку матрицы А. Для 
утверждение теоремы очевидно, ибо равенство 
означает, что А состоит из нулевого элемента. Пусть для матриц порядка 
теорема доказана, и в этом предположении докажем ее для матриц порядка m. Без нарушения общности можно считать 
Обозначим через 
строки матрицы А и введем в рассмотрение строки
По свойству определителей
Далее, 
следовательно, 
.
По индуктивному предположению, 
линейно зависимы, а тогда линейно зависимы и строки 
с теми же коэффициентами. Итак, существуют не равные одновременно нулю коэффициенты 
такие, что 
и тогда
Теорема полностью доказана.
Ясно, что то же условие 
является необходимым и достаточным для линейной зависимости столбцов матрицы. Отсюда непосредственно следует, что верна следующая теорема.
Теорема 12. Для существования нетривиальных решений системы 
линейных однородных уравнений с 
неизвестными не только необходимо, но и достаточно, чтобы определитель матрицы коэффициентов системы был равен нулю.
Напомним, что необходимость была установлена выше как следствие из теоремы Крамера. Достаточность следует из того, что отыскание решения системы
равносильно отысканию коэффициентов 
линейной зависимости столбцов матрицы коэффициентов системы.
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
Оглавление
-
ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА I. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
-
§ 1. Теория делимости целых чисел
-
2. Деление с остатком.
-
3. Наибольший общий делитель.
-
4. Алгоритм Евклида.
-
5. Взаимно простые числа.
-
6. Простые числа.
-
§ 2. Теория сравнений
-
2. Действия над классами.
-
3. Приведенная система вычетов и примитивные классы.
-
§ 3. Некоторые общие понятия алгебры
-
2. Кольца и поля.
-
3. Изоморфизм.
ГЛАВА II. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
-
§ 1. Обоснование комплексных чисел
-
3. Свойства действий.
-
4. Возвращение к обычной форме записи.
-
5. Вычитание и деление комплексных чисел.
-
§ 2. Тригонометрическая форма комплексного числа
-
2. Модуль и аргумент комплексного числа.
-
3. Тригонометрическая запись комплексного числа.
-
4. Неравенства для модуля суммы и модуля разности двух комплексных чисел.
-
5. Умножение комплексных чисел в тригонометрической записи.
-
6. Возведение комплексного числа в степень с целым показателем и формула Муавра.
-
7. Применения формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений.
-
§ 3. Извлечение корня из комплексного числа
-
2. Исследование формулы извлечения корня.
-
3. Извлечение квадратного корня.
-
§ 4. Корни из единицы
-
§ 5. Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной
ГЛАВА III. ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ
-
§ 1. Полиномы от одной буквы
-
2. Высший член и степень полинома.
-
3. Степени элемента в ассоциативном кольце.
-
4. Значение полинома.
-
5. Схема Хорнера и теорема Безу.
-
6. Число корней полинома в коммутативной области целостности.
-
7. Теорема о тождестве.
-
§ 2. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени
-
2. Исследование формулы Кардано.
-
3. Решение уравнений четвертой степени.
-
§ 3. Полиномы от нескольких букв
-
3. Теорема о тождестве.
-
4. Теорема о несущественности алгебраических неравенств.
ГЛАВА IV. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
-
§ 1. Матрицы и действия над ними
-
2. Сложение матриц и умножение матрицы на число.
-
3. Умножение матриц.
-
4. Транспонирование матриц.
-
5. Обзор действий над матрицами.
-
§ 2. Теория определителей
-
2. Элементарные сведения теории перестановок.
-
3. Определитель порядка n. Определение.
-
4. Свойства определителя.
-
5. Алгебраические дополнения и миноры.
-
6. Вычисление определителей.
-
7. Определитель Вандермонда.
-
9. Некоторые следствия из теоремы Крамера.
-
§ 3. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов)
-
2. Линейные зависимости столбцов матрицы с линейно зависимыми строками.
-
3. Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций.
-
4. Базис и ранг совокупности строк.
-
5. Линейно эквивалентные совокупности строк.
-
6. Ранг матрицы.
- 7. Условие линейной зависимости множества строк квадратной матрицы.
-
8. Ранг матрицы в терминах определителей.
-
9. Определение ранга матрицы при помощи элементарных преобразований.
-
§ 4. Системы линейных уравнений общего вида
-
§ 5. Дальнейшие свойства определителей
-
2. Умножение матриц, разбитых на клетки.
-
3. Умножение матрицы на вспомогательную матрицу как линейное преобразование строк (столбцов).
-
4. Определитель произведения двух квадратных матриц.
-
5. Примеры применения теоремы об определителе произведения квадратных матриц к вычислению определителей.
-
6. Теорема Бине — Коши.
-
§ 6. Обращение квадратных матриц
-
§ 7. Характеристический полином матрицы
-
2. Теорема Кэли—Гамильтона.
ГЛАВА V. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
-
§ 1. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду линейной подстановкой букв
-
§ 2. Закон инерции квадратичных форм
-
2. Критерий Сильвестра положительности квадратичной формы.
-
3. Закон инерции квадратичных форм.
-
§ 3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду
-
2. Собственные значения вещественной симметричной матрицы.
-
3. Построение ортогональных матриц.
-
4. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду.
-
5. Коэффициенты канонического вида квадратичной формы и столбцы преобразующей ортогональной матрицы.
-
6. Одновременные преобразования двух квадратичных форм к каноническому виду.
-
§ 4. Эрмитовы формы
-
2. Свойства эрмитовых форм.
ГЛАВА VI. ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ
-
§ 1. Теория делимости для полиномов от Одной буквы
-
§ 2. Производная
-
2. Разложение полинома по степеням линейного двучлена.
-
3. Разделение множителей различной кратности.
-
§ 3. Рациональные дроби
-
2. Поле частных.
-
3. Правильные рациональные дроби.
-
4. Разложение рациональной дроби на простейшие.
-
5. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем С комплексных чисел.
-
6. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем R вещественных чисел.
-
7. Разложение на простейшие правильной рациональной дроби, знаменатель которой разложен на попарно простые линейные множители.
-
§ 4. Интерполяция
-
2. Интерполяционная формула Лагранжа.
-
3. Способ интерполяции Ньютона.
-
4. Приближенная интерполяция.
ГЛАВА VII. СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ПОЛИНОМОВ И РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
-
§ 1. Сравнения в кольце полиномов над полем
-
§ 2. Расширение полей
-
2. Конструирование простых расширений.
ГЛАВА VIII. ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. ПОЛИНОМЫ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМИ КОЛЬЦАМИ
-
§ 1. Полиномы с целыми коэффициентами
-
§ 2. Полиномы от одной буквы над факториальным кольцом
ГЛАВА IX. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
-
§ 1. Существование корней в С
-
§ 2. Распределение корней на плоскости комплексной переменной
-
2. Принцип аргумента.
-
3. Теорема Руше.
-
4. Непрерывность корней полинома.
-
§ 3. Распределение вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами
-
2. Теорема Штурма.
-
3. Построение ряда Штурма.
-
§ 4. Обобщенная теорема Штурма
-
§ 5. Приближенное вычисление корней полинома
-
2. Метод непрерывных дробей.
-
ГЛАВА X. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
-
§ 2. Нормальные подгруппы и факторгруппы
-
§ 3. Гомоморфизм
-
§ 4. Прямое произведение групп
-
§ 5. Группы преобразований
-
2. Классы сопряженных элементов.
-
3. Строение однородных пространств.
-
4. К теории подстановок.
-
5. Примеры из геометрии.
-
6. Централизатор элемента и нормализатор подгруппы.
-
7. Центр p-группы.
-
8. Преобразования.
-
9. Автоморфизмы группы.
-
§ 6. Свободная группа
-
§ 7. Свободные произведения групп
-
§ 8. Конечные абелевы группы
-
§ 9. Конечно порожденные абелевы группы
ГЛАВА XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ
-
§ 1. Выражение симметрических пэлииов через основные
-
§ 2. Значения симметрических полиномов от корней полинома
-
2. Степенные суммы.
-
3. Дискриминант полинома.
-
4. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени в свете теории симметрических полиномов.
-
§ 3. Результант
-
2. Другой способ построения результанта.
-
3. Линейное представление результанта.
-
4. Применение результанта к исключению неизвестного из системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными.
-
5. Связь дискриминанта полинома с результантом полинома и его производной.
-
ГЛАВА XII. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
-
2. Линейные комбинации, линейная зависимость и линейная независимость.
-
3. Координаты вектора.
-
4. Замена базиса и преобразование координат.
-
§ 2. Подпространства
-
3. Прямая сумма подпространств.
-
4. Относительная линейная независимость и относительный базис.
-
5. Факторпространство.
-
§ 3. Линейные функции
-
§ 4. Линейные отображения векторных пространств
-
§ 5. Линейные операторы в векторном пространстве
-
2. Действия над операторами.
-
3. Инвариантные подпространства.
-
4. Циклическое подпространство и минимальный аннулятор вектора.
-
5. Матрица оператора на циклическом подпространстве и ее характеристический полином.
-
6. Минимальный полином оператора.
-
7. Разложение пространства с оператором в прямую сумму примарных подпространств.
-
8. Разложение примарного пространства в прямую сумму циклических примарных подпространств.
-
9. Модули над кольцом главных идеалов.
-
10. Некоторые следствия.
-
11. Каноническая форма матрицы оператора.
-
12. Оператор проектирования.
-
13. Полуобратные линейные отображения.
-
§ 6. Операторы в векторных пространствах над полем С комплексных чисел
-
2. Корневые векторы.
-
3. Нильпотентный оператор.
-
4. Каноническая форма Жордана матрицы оператора.
-
5. Пример.
-
§ 7. Операторы в векторных пространствах над полем R вещественных чисел
ГЛАВА XIII. ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
-
1. Скалярное произведение.
-
§ 2. Подпространства унитарного (или евклидова) пространства
-
§ 3. Пространства, сопряженные с евклидовым и унитарным пространствами
-
§ 4. Операторы в унитарном пространстве
-
§ 5. Операторы в евклидовом пространстве
-
§ 6. Преобразование уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду
-
§ 7. Линейные отображения унитарного пространства в унитарное
-
§ 8. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве
-
ГЛАВА XIV. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ
-
§ 2. Действия над тензорами
-
§ 3. Симметричные и антисимметричные тензоры
-
§ 4. Тензорные произведения векторных пространств
ГЛАВА XV. АЛГЕБРЫ
-
1. Определение и простейшие свойства алгебр.
-
2. Структурные константы алгебры.
-
3. Некоторые классы алгебр.
-
4. Идеалы алгебры.
-
5. Присоединение единицы.
-
6. Вложение ассоциативной алгебры в алгебру матриц.
-
§ 2. Алгебра кватернионов
-
§ 3. Внешняя алгебра
-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ