§ 2. Нормальные подгруппы и факторгруппы

1. Определение.

Элемент b группы G называется сопряженным с элементом а если существует такой, что

Подгруппа группы G называется нормальной (или инвариантной, или нормальным делителем группы G), если она вместе элементом содержит все сопряженные.

В абелевой группе любая подгруппа нормальна, так как в такой группе при любых а и с будет .

В группе квадратных невырожденных матриц над некоторым полем множество матриц с определителем 1 образует нормальную подгруппу. Действительно, если , то и если то

Далее, при любой невырожденной С будет . Группа ортогональных матриц — подгруппа в группе всех вещественных невырожденных матриц, но эта подгруппа не является нормальной, ибо, например, ортогональна, но не ортогональна.

Из определения нораданой подгруппы ясно, что нормальная подгруппа группы G является нормальной подгруппой для любой подгруппы К, содержащей . Действительно, если и включение выполняется при всех , то оно подавно будет выполняться при всех

2. Классы смежности по нормальной подгруппе и факторгруппа.

Предложение 1. Пусть Н — нормальная подгруппа группы G и с — какой-либо элемент G. Тогда .

Действительно, по определению нормальной подгруппы, . Пусть теперь а — любой элемент Н. Тогда Поэтому и, следовательно, .

Предложение 2. Если Н — нормальная подгруппа группы G и , то .

Непосредственно следует из . Достаточно умножить слева на с.

Предложение 3. Классы смежности по нормальной подгруппе образуют группу относительно умножения подмножеств группы. Единицей этой группы является сама нормальная подгруппа.

Доказательство. Пусть G — группа и — ее нормальная подгруппа. Рассмотрим произведение двух классов смежности , причем воспользуемся ассоциативностью умножения подмножеств и предложением 2. Имеем: Таким образом, произведение двух классов смежности оказалось классом смежности. Ассоциативность этого умножения нам уже известна. Далее, и так что есть единица при этом умножении. Наконец, так что есть обратный элемент для На. Предложение доказано.

Группа, образованная классами смежности. группы G по нормальной подгруппе , называется факторгруппой G по и обозначается

Мы уже встречались с факторгруппами. Так, классы целых чисел по модулю m по отношению к действию сложения составляли факторгруппу всех целых чисел по подгруппе чисел, кратных модулю т. Аналогичная ситуация имела место в других случаях, когда мы рассматривали сравнения и классы сравнений.

Само определение факторгруппы тоже можно сформулировать в терминах сравнений. Именно, назовем два элемента группы G сравнимыми по нормальной подгруппе , если или, что то же самое, принадлежат к одному классу смежности по . Тогда, если , то , ибо при при . Поэтому, если определить произведение классов как класс, содержащий произведение каких-либо представителей из этих классов, определение будет корректным. Оно, разумеется, совпадает с определением произведения классов смежности как элементов факторгруппы.