Научная библиотека

5. Примеры применения теоремы об определителе произведения квадратных матриц к вычислению определителей.

Собственно говоря, те приемы вычисления определителей, которые мы рассматривали раньше, можно рассматривать как левые умножения (при комбинировании строк) или правые умножения (при комбинировании столбцов) на вспомогательные матрицы, именно, матрицы трансвекций. Мы должны были внимательно следить за тем, чтобы не прибавить уже измененною строку (или столбец) при линейном комбинировании. Теорема об определителе произведения дает большую свободу для линейного комбинирования строк (или столбцов) за счет умножения на подходящие вспомогательные матрицы. Определитель при этом может меняться, но мы в состоянии учесть это изменение, именно, определитель приобретает множителем определитель вспомогательной матрицы. Остается следить только за тем, чтобы не умножить на матрицу с нулевым определителем.

Пример 1.. Найти , если

Здесь напрашивается несколько способов линейного комбинирования строк. Хорошо сложить все строки. Не менее хорошо сложить первые две и вычесть третью и четвертую, сложить первую с третьей и вычесть вторую и четвертую и, наконец, сложить первую с четвертой и вычесть вторую и третью.

Все эти преобразования выполнятся одновременно, если исходную матрицу умножить слева на матрицу

Действительно

и

Остается убедиться, что . Мы его вычисляли выше, он равен — 16. Но легко также убедиться в справедливости неравенства , учитывая, что

Этот пример несколько искусственный, но он есть частный случай более общей ситуации — группового определителя конечной абелевой группы.

Подчеркнем еще раз важность того, что . Если за этим не проследить, можно получить неверный результат. Например, для той же матрицы А возьмем в качестве вспомогательной

Тогда

и

«Сократив» на , получим неверный результат:

Но на самом деле и сокращение на недопустимо. Пример 2. Найти , где

Пример очень похож на предыдущий, но здесь линейное комбинирование строк малополезно. Хорошо возвести А в квадрат:

Следовательно, или или или при одних значениях а, b, с, d одно, при других — другое. Разберемся в этом вопросе. Мы имеем равенство полиномов от а, b, с, или

Но кольцо полиномов есть область целостности. Следовательно, равен нулю один из сомножителей. Равенство нулю второго приводит к

что не имеет места при следующих значениях букв: Следовательно,