2. Теорема Кэли—Гамильтона.

Теорема 1. При подстановке матрицы в ее характеристический полином получается нулевая матрица.

(Иными словами, матрица является корнем своего характеристического полинома.)

Доказательство. Обозначим через В матрицу союзную с . Ее элементы принадлежат кольцу и являются полиномами от t не выше степени, ибо они равны, с точностью до знаков, минорам порядка матрицы элементы которой содержат t не выше чем в первой степени.

Можно записать

где — матрицы над

По свойству взаимной матрицы имеет место равенство которое можно записать подробно

По определениям равенства матриц и равенства полиномов, мы вправе приравнять коэффициенты при одинаковых степенях на всех позициях, что равносильно приравниванию матричных коэффициентов при степенях

Получаем цепочку равенств:

Умножим справа первое равенство на второе на третье на на А и сложим с последним. Слева все слагаемые взаимно уничтожатся и останется нулевая матрица. Справа получим

Итак,

что и требовалось доказать.