2. Сложение матриц и умножение матрицы на число.

Введем в рассмотрение алгебраические действия над матрицами. Рассматриваем матрицы с элементами из некоторого поля К. При этом две матрицы считаются равными, если у них совпадают элементы, стоящие на одинаковых местах.

Определим произведение элемента на матрицу

для матриц над некоммутативным ассоциативным кольцом следует различать два произведения с А и

Для матриц одинакового строения, т. е. имеющих одинаковое число строк и столбцов, определяется сложение по правилу: если

то

т. е. элементами суммы двух матриц является сумма соответствующих элементов слагаемых матриц.

Отметим некоторые свойства действий.

1. - ассоциативность сложения.

2. — коммутативность сложения.

3. Матрица 0, состоящая из нулей, играет роль нуля: при любой А.

4. Для любой матрицы А существует противоположная —А та что (В качестве матрицы —А, очевидно, следует взять матрицу элементы которой отличаются от элементов А знаком.)

5.

6.

7.

8.

Все перечисленные свойства непосредственно следуют из определений и свойств действий в поле (или в кольце).

Система математических объектов, в которой определено действие сложения и действие умножения на элементы поля К, причем эти действия обладают свойствами 1—8, называется векторным пространством над полем К.

Таким образом, множество матриц одинакового строения с элементами из данного поля К образует векторное пространство по отношению к определенным выше действиям. В частности, строки данной длины и столбцы данной высоты образуют векторные пространства.

Пусть — несколько матриц одинакового строения. Матрица при , называется линейной комбинацией матриц Нам придется применять этот термин преимущественно к строкам и к столбцам.

Рассмотрим в свете этого понятия систему линейных уравнений общего вида

введя в рассмотрение столбцы из коэффициентов

и столбец из свободных членов

Тогда систему можно записать в виде

и ее решение превращается в задачу: даны столбцов и столбец требуется представить столбец В в виде линейной комбинации Как мы увидим дальше, такая формулировка оказывается полезной.