7. Разложение пространства с оператором в прямую сумму примарных подпространств.

Пространство, в котором действует оператор, называется примарным, если минимальный полином оператора является степенью неприводимого полинома над основным полем. Цель настоящего пункта — доказать, что пространство можно разложить в прямую сумму инвариантных примарных подпространств. С этой целью докажем несколько вспомогательных предложений. В их формулировках будет всюду предполагаться, что векторы принадлежат пространству, в котором действует оператор .

Предложение 5. Если вектор аннулируется двумя взаимно простыми полиномами, то он равен нулю.

Действительно, минимальный аннулятор такого вектора делит пару взаимно простых полиномов и, следовательно, равен 1, так что 1 аннулирует вектор, и сам вектор равен нулю.

Предложение 6. Если вектор аннулируется полиномом разлагающимся в произведение двух взаимно простых полиномов и , то вектор можно представить в виде суммы двух векторов, один из которых аннулируется полиномом другой — полиномом

Доказательство. В силу взаимной простоты и найдутся такие полиномы и и v, что . Тогда Вектор аннулируется полиномом ибо Аналогично, вектор аннулируется полиномом .

Предложение 7. Если вектор z аннулируется полиномом при попарно взаимно простых сомножителях , то представляется в виде суммы k векторов, аннулирующихся, соответственно, полиномами

Доказывается тривиальным применением метода математической индукции, на основании предложения 6.

Предложение 8. Пусть минимальный полином оператора s? (на всем пространстве) разлагается в произведение попарно взаимно простых полиномов. Тогда пространство однозначно разлагается в прямую сумму инвариантных подпространств , на которых оператор имеет минимальные полиномы

Доказательство. Обозначим через - множество всех векторов, аннулируемых полиномом иными словами, . Тогда ибо любой вектор из S аннулируется полиномом и, в силу предложения 7, представляется в виде суммы векторов из . Сумма прямая, ибо если вектор принадлежит и сумме остальных слагаемых подпространств, то аннулируется парой взаимно простых полиномов и, следовательно, равен 0. Минимальный полином оператора на есть или его делитель, но собственным делителем не может быть, ибо есть наименьшее общее кратное минимальных полиномов оператора М на

Однозначность разложения следует из того, что есть множество всех векторов, аннулируемых полиномом

Предложение доказано полностью.

Из предложения 8 сразу вытекает справедливость следующей теоремы:

Теорема 9. Пространство, в котором действует оператор, разлагается в прямую сумму примарных подпространств.

Достаточно применить предложение 8 к каноническому разложению минимального полинома g на неприводимые множители.

Подпространство, состоящее из всех векторов, аннулируемых полиномом назовем полным примарным подпространством, соответствующим примарному делителю полинома