Главная > Математика > Лекции по алгебре
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Линейные зависимости столбцов матрицы с линейно зависимыми строками.

Пр едложение 4. Пусть — строки матрицы

причем строки являются линейными комбинациями строк . Пусть, далее, — столбцы матрицы — их отрезки длины k.

Тогда из любой зависимости следует зависимость

Это предложение обращает при сделанных ограничениях предложение о линейной зависимости отрезков линейно зависимых строк (здесь — столбцов).

Доказательство. Пусть

Пусть, далее, . Это означает, что первые k компонент столбца равны нулю. Рассмотрим компоненту. Она равна

Но, в силу (1),

Поэтому

В скобках находятся первые k компонент столбца Все они равны нулю. Следовательно, равна нулю и вычисленная нами компонента. Аналогично доказывается равенство нулю всех остальных компонент.

Предложение доказано.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление