4. Непрерывность корней полинома.

Пусть дан полином Покажем, что его корни меняются непрерывно при изменении коэффициентов. Именно, при достаточно малом изменении коэффициентов корни меняются сколь угодно мало, но только кратные корни могут распадаться, превращаясь в совокупность корней в количестве (с учетом кратностей), равном кратности исходного корня.

Действительно, пусть — корень кратности k для полинома и пусть — полином, полученный из малым изменением его коэффициентов. Окружим корень сколь угодно малой ркружностью, причем настолько малой, чтобы в ограниченном ею круге не было корней полинома кроме Пусть при z, меняющемся на окружности. Так как функция непрерывна и не обращается на окружности в нуль, Возьмем коэффициенты полинома столь малыми, что на окружности . Тогда на этой окружности выполнено условие теоремы Руше, и полином имеет столько же корней внутри круга (с учетом кратностей), сколько их имеет

В частности, простой корень при малом изменении коэффициентов немного перемещается, оставаясь простым.

Если коэффициенты зависят от вещественного параметра t, являясь не только непрерывными, но и дифференцируемыми функциями, то простые корни имеют производные по t, именно,

В точках, где эта производная отлична от нуля, корень перемещается по гладкой кривой. Картина усложняется, когда корни «сталкиваются», превращаясь при некотором значении t в кратный корень. Рассмотрим простой пример. Пусть при . При корни равны 0 и 2. Далее, — При изменении t от 0 до 1 корни сближаются и, при сливаются при значении (рис. 14). При дальнейшем увеличении t корни становятся комплексными и расходятся вдоль прямой . У нас нет никаких оснований считать, который из корней пошел вверх: тот, который пришел рлева, или тот, который пришел справа. Корни после столкновения как бы теряют индивидуальность.

Рис. 14.