Научная библиотека

3. Разделение множителей различной кратности.

Предложение 20. Простой корень полинома не является корнем его производной.

Пусть с — простой корень полинома так что не делится на . Тогда и

Предложение 21. Корень с полинома из кратности k является корнем производной кратности если только k не делится на характеристику основного поля К (в частности, если эта характеристика равна 0).

Действительно, пусть причем . Тогда

Полином не делится на ибо (k не делится на характеристику!).

Эти предложения можно несколько обобщить.

Напомним, что полиномы разлагаются в произведение неприводимых над К множителей

Предположим, что характеристика поля k равна нулю.

Предложение 22. Однократный неприводимый множитель полинома не входит в разложение его производной.

Действительно, пусть неприводим и F не делится на . Тогда . Полином ненулевой, его степень меньше степени поэтому взаимно прост с (в поле ненулевой характеристики могло случиться, что . Полином F тоже взаимно прост с ибо F не делится на неприводим. Первое слагаемое взаимно просто с второе делится на Следовательно, взаимно прост с

Предложение 23. Неприводимый над К полином входящий в разложение полинома с показателем k, входит в разложение f с показателем

Действительно, пусть при взаимно простом с . Тогда . Первое слагаемое в скобках взаимно просто с второе делится на Следовательно, полином взаимно прост с и f не делится на

Эти предложения позволяют, оставаясь в кольце отделить друг от друга произведения неприводимых сомножителей, входящих в с различными показателями.

Действительно, пусть пусть — наибольший общий делитель f и f. Неприводимыми множителями для могут быть только ибо f делится на и они входят в с показателями так что где не будут входить однократные неприводимые множители f. Найдем далее наибольший общий делитель полиномов Он будет состоять из неприводимых множителей, входящих в f с большим чем 2 показателем. Их показатели в на 2 меньше, чем в f. Полином будет состоять из неприводимых множителей, входящих в с показателями 2 и выше.

Далее, пусть есть наибольший общий делитель Полином составлен из неприводимых множителей, входящих в с показателем 3 и выше, и т. д. Частное от деления на будет составлено из неприводимых множителей, входящих в ровно в первой степени, частное от деления на состоит из неприводимых множителей, входящих в равно во второй степени и т. д.

Пример. .

Применив алгорифм Евклида, получим, что равен . Далее, . Поэтому

Поделив на , получим частное от деления на есть . Итак,