Главная > Математика > Лекции по алгебре
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Число корней полинома в коммутативной области целостности.

Лемма. В области целостности возможно сокращение в равенстве, т. е. из при следует .

Действительно, равенство равносильно равенству . Так как и мы оперируем в области целостности, должно быть

Теорема 5. Пусть — полином из , где А — (коммутативная) область целостности. Тогда число корней f(x) в А не превосходит его степени п.

Доказательство. Применим метод математической индукции по степени полинома. База для индукции имеется — полином нулевой степени не имеет корней. Допустим, что и что теорема доказана для полиномов степени и в этом предположении докажем ее для полинома степени п. Если не имеет корней в А, то утверждение теоремы верно. Пусть корни есть и — один из корней. Тогда

Если — какой-либо корень отличный от то но , следовательно, Таким образом, любой корень кроме си является корнем полинома степени . В силу индуктивного предположения этот полином имеет не более корней в А и, следовательно, имеет не более корней, что и требовалось доказать.

Заметим, что предположение о том, что кольцо А есть область целостности, здесь существенно. Так, в кольце вычетов по модулю 8 полином имеет 4 корня: 1, 3, 5, 7.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление