§ 8. Конечные абелевы группы

1. Разложение конечной абелевой группы в прямую сумму примерных абелевых групп.

В этом и следующем параграфах мы изложим теорию конечно порожденных абелевых групп, причем будем пользоваться аддитивной записью и соответствующей терминологией.

Действие в группе будем называть сложением и обозначать знаком нейтральный элемент назовем нулем группы и обозначим 0, вместо обратного элемента будем говорить о противоположном, вместо степеней — о кратных, вместо термина прямое произведение будем говорить прямая сумма и для обозначения прямой суммы будем использовать знак .

Пусть G — конечная абелева группа и а — ее элемент. Натуральное число такое, что назовем аннулятором элемента а. Среди аннуляторов найдется минимальный, именно, порядок элемента а.

Предложение 1. Все аннуляторы элемента делятся на его порядок.

Действительно, пусть m — порядок элемента а и какой-либо другой аннулятор. Тогда и, следовательно, в силу минимальности аннулятора т.

Аннулятором группы называется натуральное число, при умножении на которое аннулируются все элементы группы. Порядок группы принадлежит к числу ее аннуляторов. Среди аннуляторов группы существует минимальный и все аннуляторы на него делятся.

Предложение 2. Пусть m — аннулятор группы G и причем взаимно просты. Тогда G разлагается в прямую сумму двух подгрупп, одна из которых аннулируется числом другая — числом

Доказательство. Пусть — множество всех элементов группы G, которые аннулируются числом то же для . Ясно, что подгруппы G. Ввиду взаимной простоты найдутся целые числа такие, что . Пусть Тогда . Первое слагаемое принадлежит ибо . Соответственно второе принадлежит . Таким образом, Чтобы убедиться в том, что сумма прямая, остается установить, что Пусть . Из равенства заключаем, что ибо равны нулю оба слагаемых правой части.

Заметим, что из самого построения групп и следует, что они определены однозначно.

Предложение 3. Пусть аннулятор m группы G разлагается в произведение попарно взаимно простых сомножителей. Тогда G разлагается в прямую сумму подгрупп с аннуляторами

Непосредственно следует из предложения 2.

Конечная абелева группа называется примарной, если ее аннулятор есть степень простого числа.

Теорема 4. Конечная абелева группа разлагается в прямую сумму примарных подгрупп.

Следует из предложения 3, в применении к каноническому разложению аннулятора:

2. Подгруппы циклической группы.

Предложение 5. Все подгруппы конечной циклической, группы порядка цикличны, и их образующими являются элементы вида где а — образующий данной группы, d — делитель числа .

Доказательство. Пусть G — циклическая группа порядка с образующим а и — ее подгруппа. Пусть d — наименьшее натуральное число, при котором . Тогда делится на d, ибо если то — , и, в силу минимальности . Если , то k делится на d, ибо если то . Таким образом, -образующий группы . Порядок равен m/d. При любом d, делящем , элемент порождает подгруппу порядка m/d.

В частности, если , то все подгруппы группы G образуют цепочку , где подгруппа, порожденная

3. Разложение примерной абелевой группы впрямую сумму примарных циклических групп.

Предложение 6. Пусть — подгруппа абелевой группы G и из классов смежности G по Н можно извлечь по одному представителю так, что они образуют группу F (очевидно, изоморфную факторгруппе ). Тогда

Доказательство. ибо в присутствуют все элементы веех классов смежности. ибо при естественном гомоморфизме G на все элементы отображаются в нулевой класс факторгруппы, и элемент группы F, принадлежащий нулевому классу, может быть только 0. Следовательно, по теореме 2 .

Теорема 7. Примарная конечная группа G может быть разложена в прямую сумму примарных циклических групп.

Доказательство проведем посредством индукции по порядку группы. Базу для индукции составляют группы простого порядка, ибо они цикличны.

Пусть — минимальный аннулятор группы G. Тогда найдется элемент , порядок которого равен рак Пусть — циклическая подгруппа, порожденная элементом . Если совпадает с G, то вопрос исчерпан, G сама циклична. Пусть не совпадает с G. Рассмотрим факторгруппу Она примарна, ее минимальный аннулятор равен при и ее порядок меньше порядка G. Согласно индуктивному предположению она является прямой суммой циклических групп с образующими с. Постараемся выбрать из классов смежности такие представители чтобы их порядки совпадали с порядками .

Тогда они порождают подгруппу F, изоморфную , т. е. представимую в прямой суммы циклических групп изоморфных . В силу предложения 6 группа G равна .

Таким образом, для завершения доказательства теоремы нам. нужно позаботиться о выборе представителей из классов . Пусть — порядок Ясно, что Выберем из класса какой-либо элемент Тогда так что при некотором целом так что . Это значит, что делится на делится на . Положим . Тогда Выбранный представитель класса удовлетворяет поставленному требованию. Аналогично выбираются представители из классов . Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что порядок примарной абелевой группы равен степени того же простого числа, которое входит в аннулятор. Так как порядок прямой суммы групп равен произведению порядков слагаемых, мы видим, что порядок конечной абелевой группы есть произведение степеней простых чисел, входящих в аннулятор, так что примарные сомножители канонического разложения порядка группы совпадают с порядками примерных прямых слагаемых.

4. Инвариантность порядков циклических прямых слагаемых прнмарной абелевой группы.

Разложение примарной абелевой группы G в прямую сумму циклических подгрупп не однозначно, но тем не менее число прямых слагаемых и их порядки не зависят от способа разложения. Чтобы доказать это, обозначим через число прямых слагаемых максимального порядка через -число прямых слагаемых порядка через — число прямых слагаемых порядка . Тогда есть прямая сумма циклических групп порядка циклических групп порядка циклических групп порядка . Поэтому есть прямая сумма групп порядка в количестве и ее порядок равен Таким же образом есть прямая сумма групп порядка и ее порядок равен Таким образом, суммы имеют инвариантный смысл как показатели при в порядках факторгрупп Следовав тельно, числа тоже инвариантны.