§ 3. Полиномы от нескольких букв

1. Определение и основные действия.

Пусть дано коммутативное кольцо А с единицей и несколько посторонних для А букв . Одночленом относительно этих букв называется выражение , где — целые неотрицательные числа. Показатели называются степенями одночлена относительно соответствующих букв, а называется полной степенью или просто степенью одночлена. Для подобных одночленов определено сложение («приведение подобных членов») и определено умножение одночленов:

Многочленом или полиномом называется формальная сумма одночленов, причем порядок слагаемых безразличен.

Максимальная из степеней одночленов, составляющих полином, называется его степенью. Полином, все члены которого имеют одинаковую степень, называется однородным полиномом или формой. Максимальная из степеней относительно какой-нибудь буквы называется степенью полинома относительно этой буквы.

Два полинома считаются равными, если они составлены из одинаковых одночленов. Для полиномов естественным образом определяются действия сложения и умножения. Именно, сумма двух полиномов составлена из объединения всех одночленов, составляющих слагаемые; произведение есть сумма произведений всех членов первого сомножителя на все члены второго.

Ясно, что полином от букв можно рассматривать как полином от с коэффициентами, являющимися полиномами от остальных букв.

Теорема 1. Кольцо полиномов от нескольких букв над областью целостности есть область целостности.

Доказательство. Применяем метод математической индукции по числу букв. База индукции имеется — для полиномов от одной буквы теорема была установлена в п. 2 § 1. Положим теперь, что кольцо полиномов от букв есть область целостности. Тогда и кольцо полиномов от m букв есть область целостности, ибо оно есть кольцо полиномов от одной буквы над кольцом полиномов от букв, которое есть область целостности по индуктивному предположению.

2. Значения полиномов от нескольких букв. Пусть В — ассоциативное коммутативное кольцо (для полиномов от одной переменной коммутативность В была не обязательна), содержащее А, и с единицей, совпадающей с единицей А. Пусть дан полином

и даны . Значением полинома в точке (или при ) называется

Ясно, что если , то

и