3. Теорема Руше.

Имеются случаи, когда принцип аргумента позволяет найти число корней полинома в области почти без вычислений.

Рассмотрим пример. Требуется узнать, сколько корней имеет полином внутри единичного круга На контуре второе слагаемое преобладает по модулю над остальными, ибо . Ясно, что пока 2 обходит один раз единичную окружность в положительном направлении, обойдет окружность радиуса 5 два раза, будучи «привязан» к вектором, изображающим , длина которого не превосходит 4, вынужден тоже обойти вокруг начала два раза. Поэтому полином имеет внутри единичного круга два корня.

Пусть теперь требуется узнать число корней этого полинома в круге радиуса 2. Преобладающим слагаемым на контуре , оказывается модуль которого равен 32. Сумма остальных слагаемых по модулю не превосходит . Слагаемое обходит начало координат 5 раз, и , отходя от 25 не более чем на 23 единицы, тоже обходит начало 5 раз. Число корней полинома в круге радиуса 2 равно 5.

Итак, мы узнали, что имеет 2 корня в единичном круге и 3 корня в кольце между окружностями

Приведем теперь теорему, частными случаями которой являются только что приведенные рассмотрения.

Теорема (Руше). Пусть полином представляется в виде суммы двух полиномов, и на контуре области выполнено неравенство Тогда число корней полиномов внутри области одинаково.

Доказательство. Прежде всего убедимся в том, что к полиномам можно применить принцип аргумента. Из неравенств справедливых для всех z на контуре, следует что не обращаются в 0 на контуре. Далее, так пока проходит контур области. Далее, из следует, что имеет значения, лежащие внутри круга с центром в точке 1 и с единичным радиусом, так что все они находятся в правой полуплоскости.

Вектор, исходящий из 0 в точку не может повернуться вокруг начала, так что Следовательно,

Согласно принципу аргумента, число корней полиномов внутри области одинаково, что и требовалось доказать.