2. Интерполяционная формула Лагранжа.

Для интерполяционного полинома степени не большей существует несложная формула. Ее можно получить из решения системы линейных уравнений предыдущего пункта, но мы ее выведем чрезвычайно кратким, но искусственным путем, используя формулу Лагранжа для разложения дроби на простейшие.

Пусть — данная таблица значений, интерполяционный полином наименьшей степени. Обозначим и рассмотрим рациональную дробь Она правильная, ибо степень числителя меньше , и мы можем применить формулу Лагранжа для разложения дроби на простейшие. Получим

В правой части равенства все известно, ибо . Умножив на получим искомую формулу:

Эта формула очень удобна для теоретических исследований, но не удобна для практического вычисления интерполяционного полинома.

Например, для функции, заданной таблицей

интерполяционным полиномом является, очевидно,

По формуле же Лагранжа, исходя из мы придем к тому же результату лишь после некоторых преобразований:

Обратим внимание еще на одно обстоятельство. Если окажется, что нужно расширить таблицу данных, то построение интерполяционного полинома по формуле Лагранжа заставляет выполнить пересчет с самого начала — изменится полином F и значения его производных.

Выведем теперь из формулы Лагранжа некоторые интересные и нетривиальные тождества. Пусть, как прежде, при . Положим , где s . Получим:

Сравним коэффициенты при в обеих частях равенства.

Ясно, что есть полином степени со старшим коэффициентом 1. Следовательно,