§ 5. Дальнейшие свойства определителей

1. Теорема Лапласа.

Теорема, о которой будет идти речь в этом пункте, является глубоким обобщением разложения определителя по элементам строки. Пусть квадратная матрица порядка .

Напомним, что минором порядка k для этой матрицы называется определитель матрицы, составленной из элементов, находящихся на пересечении некоторых выбранных k строк и k столбцов. В общем виде минор порядка k можно записать в форме

Здесь — номера выбранных строк номера выбранных столбцов, .

Минором, дополнительным к данному минору порядка k, называется минор порядка , матрица которого получается из исходной посредством вычеркивания строк и столбцов, содержащих данный минор.

Алгебраическим дополнением к данному минору называется дополнительный минор с множителем

Теорема 1 (теорема Лапласа). Пусть в матрице определителя выбраны k строк. Определитель равен сумме произведений всех миноров порядка k, составленных из этих строк, на их алгебраические дополнения.

Например, если для определителя

выбрать первые две строки, теорема Лапласа дает

Доказательство теоремы Лапласа довольно громоздко. В конце курса, в главе, посвященной внешней алгебре, теорема Лапласа появится как почти очевидное утверждение.

Мы ограничимся доказательством важного частного случая, именно, формулой для определителя ступенчатой матрицы. Ступенчатая матрица устроена так:

Если к определителю ступенчатой матрицы применить теорему Лапласа, исходя из первых строк, то лишь один минор будет отличен от нуля, именно, левый верхний, и его алгебраическим дополнением будет минор, составленный из последних строк и столбцов.

Согласно теореме Лапласа

Этот частный случай теоремы мы сейчас докажем. При утверждение теоремы очевидно. Далее проведем индукцию по порядку минора из левого верхнего угла, допустив, что для левого верхнего углового минора порядка теорема верна. Введем следующие обозначения. Через обозначим алгебраические дополнения элементов первой строки определителя через — соответствующие миноры.

Далее, через обозначим алгебраические дополнения элементов первой строки в определителе и через — соответствующие миноры.

Разложим определитель по элементам первой строки. Получим

Присмотримся к тому, что представляет собой минор А). Его матрица получается вычеркиванием первой строки и столбца из матрицы А. Останется снова ступенчатая матрица. Ее левый верхний угловой минор имеет порядок и его матрица есть результат вычеркивания первой строки и столбца из матрицы Правый нижний угловой минор такой же, как у матрицы А. В силу индуктивного предположения

Поэтому

что и требовалось доказать.

Для приложений теории определителей теорема Лапласа, в основном, нужна именно в частном случае определителя ступенчатой матрицы.

Пример.

Мы дважды применили теорему об определителе ступенчатой матрицы.