5. Матрица оператора на циклическом подпространстве и ее характеристический полином.

Пусть в векторном пространстве S действует оператор Обозначим через Р циклическое подпространство, порожденное вектором и пусть — минимальный аннулятор вектора За базис Р можно принять векторы Под действием оператора они превращаются, соответственно, в причем

Следовательно, матрица оператора в этом базисе равна

Матрица этого вида носит название сопровождающей для полинома

Предложение 4. Характеристический полином оператора на циклическом подпространстве, порожденном вектором равен минимальному аннулятору вектора х.

Иными словами, нужно доказать, что характеристический полином матрицы, сопровождающей для полинома равен этому полиному. Это — нетрудная задача на вычисление определителей.

Характеристический полином матрицы, сопровождающей для полинома равен

Для вычисления этого определителя прибавим к его первой строке вторую, умноженную на t, третью, умноженную на последнюю, умноженную на Получим:

Предложение доказано.

Сопоставим это предложение с предложением I, получим, что характеристический полином оператора (на всем пространстве) делится на минимальный аннулятор любого вектора и, следовательно, характеристический полином от оператора аннулирует все векторы пространства, т. е. является нулевым оператором. Тем самым мы снова доказали в терминах операторов теорему Гамильтона—Кэли, доказанную ранее в терминах матриц.