3. Изоморфизм.

Часто оказывается, что группы, возникающие в различных областях математики или ее приложений, оказываются совершенно одинаковыми по своим свойствам, хотя элементы, из которых они составлены, различны по своей природе. Это явление носит название изоморфизма групп.

Дадим точное определение. Взаимно однозначное отображение группы G] на группу называется изоморфизмом, если образом результата групповой операции над двумя элементами из является результат применения групповой операции в над образами исходных элементов.

В символьной записи, если отображение обозначено через нужно (кроме взаимной однозначности), чтобы (мы прибегаем к мультипликативной записи группового действия). Группы называются изоморфными, если для них существует изоморфное отображение. Например, группа классов по модулю 2 относительно сложения изоморфна группе, элементами которой служат числа ±1, а операцией — обычное умножение. Изоморфизм дается сопоставлением классу четных чисел числа 1, а классу нечетных чисел — числа —1.

Менее тривиальный пример изоморфизма имеется для группы всех вещественных чисел относительно сложения и группы положительных чисел относительно умножения. Изоморфизм дается сопоставлением любому вещественному числу значения показательной функции Действительно, оно взаимно однозначно (обратное отображение дается логарифмом) и

Аналогично изоморфизму групп дается определение изоморфизма колец. Именно, взаимно однозначное отображение кольца на кольцо называется изоморфным, если оно сохраняется при операциях сложения и умножения, т. е. если Ясно, что если кольцо есть область целостности или поле, то его изоморфный образ есть область целостности или поле.