§ 4. Четные и нечетные целые числа

Целое число называется четным, если оно делится на 2; в противном случае оно называется нечетным. Таким образом, четными числами являются

и нечетными числами —

Из делимости четных чисел на два вытекает, что каждое четное число можно записать в виде , где символ обозначает произвольное целое число. Когда некоторый символ (подобно букве в рассматриваемом нами случае) может представлять любой элемент некоторого определенного множества объектов (множества целых чисел в нашем случае), мы говорим, что областью значений этого символа является указанное множество объектов. В соответствии с этим в рассматриваемом случае мы говорим, что каждое четное число может быть записано в виде , где область значений символа совпадает с множеством целых чисел. Например, четные числа 18, 34, 12 и -62 имеют вид , где соответственно равно 9, 17, 6 и -31. Нет особой причины использовать здесь именно букву . Вместо того чтобы говорить, что четными числами являются целые числа вида равным образом можно было бы сказать, что четные числа имеют вид или или

При сложении двух четных чисел в результате получается тоже четное число. Это обстоятельство иллюстрируется следующими примерами:

Однако для доказательства общего утверждения о том, что множество четных чисел замкнуто относительно сложения, недостаточно набора примеров. Чтобы дать такое доказательство, обозначим одно четное число через , а другое — через . Складывая эти числа, можно написать

Сумма записана в виде . Из этого видна ее делимость на 2. Было бы недостаточно написать

поскольку последнее выражение представляет собой сумму четного числа и того же самого числа. Иными словами, мы доказали бы, что удвоенное четное число есть опять четное число (в действительности делящееся даже на 4), в то время как нужно доказать, что сумма любых двух четных чисел есть число четное. Поэтому мы использовали обозначение для одного четного числа и для другого четного числа с тем, чтобы указать, что эти числа могут быть и разными.

Какое обозначение можно использовать для записи любого нечетного числа? Отметим, что при вычитании 1 из нечетного числа получается четное число. Поэтому можно утверждать, что любое нечетное число записывается виде Запись такого рода не единственна. Подобным же образом мы могли бы заметить, что при прибавлении 1 к нечетному числу получается четное число, и могли бы заключить отсюда, что любое нечетное число записывается в виде

Аналогично можно сказать, что любое нечетное число записывается в виде или или и т. д.

Можно ли утверждать, что каждое нечетное число записывается в виде Подставляя в эту формулу вместо целые числа

получаем следующее множество чисел:

Каждое из этих чисел нечетно, однако ими не исчерпываются все нечетные числа. Например, нечетное число 5 не может быть так записано. Таким образом, неверно, что каждое нечетное число имеет вид , хотя каждое целое число вида нечетно. Аналогично неверно, что каждое четное число записывается в виде где область значений символа k есть множество всех целых чисел. Например, 6 не равно какое бы целое число ни взять в качестве А. Однако каждое целое число вида четно.

Соотношение между этими утверждениями — то же самое, что и между утверждениями «все кошки — животные» и «все животные — кошки». Ясно, что первое из них верно, а второе — нет. Это соотношение будет обсуждаться дальше при разборе утверждений, включающих фразы «тогда», «только тогда» и «тогда и только тогда» (см. § 3 гл. II).

Упражнения

Какие из следующих утверждений верны и какие ложны? (Предполагается, что областью значений символов является совокупность всех целых чисел.)

1. Каждое нечетное число может быть представлено в виде

2. Каждое целое число вида а) (см. упр. 1) нечетно; это же имеет место для чисел вида б), в), г), д) и е).

3. Каждое четное число может быть представлено, в виде

4. Каждое целое число вида а) (см. упр. 3) четно; то же самое имеет место для чисел вида б), в), г) и д).