§ 6. Замечания о природе доказательства

Раньше уже отмечалось, что для доказательства замкнутости множества четных чисел относительно сложения, т. е. четности суммы любых двух четных чисел, было бы недостаточно исследовать лишь несколько конкретных примеров типа Так как имеется бесконечно много четных чисел, то мы не в состоянии проверить все суммы конкретных пар четных чисел. Поэтому здесь нам необходимо воспользоваться алгебраической символикой. Так, например, использование символа который употребляется для обозначения любого четного числа, позволило нам доказать замкнутость множества всех четных чисел относительно умножения.

Однако для доказательства отрицательного утверждения, такого, как «множество нечетных чисел не замкнуто относительно сложения», нет необходимости использовать какие-либо общие алгебраические символы типа подобное отрицательное утверждение может быть установлено с помощью единственного примера.

Для доказательства любого предложения, утверждающего, что не все элементы некоторого множества обладают определенным свойством, достаточно, очевидно, найти хотя бы один элемент, этим свойством не обладающий. Чтобы доказать, что не все мальчики имеют карие глаза, нам достаточно указать мальчика с голубыми или черными глазами. Чтобы доказать, что не все суммы двух нечетных чисел нечетны, заметим, что указания этого одного примера двух нечетных чисел, имеющих четную сумму, вполне достаточно для доказательства нашего общего утверждения. Однако если мы хотим доказать, что сумма любых двух нечетных чисел есть число четное, то мы не можем уже ограничиться примером . Даже указание большего количества примеров и т. д. не может служить корректным математическим доказательством нашего утверждения, хоть оно и делает это утверждение весьма правдоподобным.

Вот еще один пример отрицательного утверждения: «не каждое простое число нечетно». Для доказательства его достаточно отметить, что четное число 2 является простым.

Упражнения

(Первые три упражнения содержат отрицательные утверждения, и для их решения достаточно указать один числовой пример.)

1. Доказать, что множество нечетных чисел не замкнуто относительно вычитания.

2. Доказать, что множество целых чисел вида не замкнуто относительно сложения.

3. Доказать, что множество целых чисел вида не замкнуто относительно умножения.

4. Доказать, что сумма любых двух нечетных чисел есть число четное.

5. Доказать, что следующие множества замкнуты относительно указанных операций:

а) целые числа вида — относительно умножения;

б) целые числа вида — относительно сложения;

в) целые числа вида — относительно умножения,

6. Определить, какие из следующих множеств замкнуты относительно указанных операций (в каждом случае дать соответствующее доказательство):

а) целые числа вида — относительно сложения;

б) целые числа вида — относительно умножения;

в) целые числа вида — относительно сложения;

г) целые числа вида -относительно вычитания;

д) целые числа вида — относительно умножения;

е) целые числа вида — относительно умножения;

ж) целые числа, не представимые в виде — относительно умножения.