§ 1. Простые числа

Сколько делителей имеет число 35? Всего четыре, в чем можно убедиться, выписав их все: 1, 5, 7, 35. Поставленный вопрос оказался нетрудным, так как 35 является относительно малым натуральным числом. А сколько делителей имеет число 187? На этот вопрос не так легко ответить, однако, пробуя числа

1, 2, 3 и т. д., мы обнаруживаем, что число делителей опять равно четырем. Именно делителями 187 являются числа 1, 11, 17 и 187. Для нахождения делителей 11 и 17 от читателя потребовалось бы, возможно, небольшое усилие, делители же 1 и 187 очевидны. Подобным образом ясно, что числа 1 и 179 являются делителями 179; однако оказывается, что других делителей у числа 179 нет. Натуральные числа, имеющие, как 179, в точности два делителя, называются простыми. Иными словами, простое число есть натуральное число, единственными делителями которого являются оно само и 1. Первыми простыми числами в порядке возрастания являются

Отметим, что 1 не включено в эту последовательность. То обстоятельство, что 1 не является простым числом, разумеется, не теорема, оно представляет собой математический договор или соглашение, другими словами, это определение. Математики договорились не считать 1 простым числом. Можно было бы принять обратное решение — включить 1 в множество простых чисел. Но, как будет показано ниже, исключение 1 позволяет сформулировать ряд предложений о простых числах, не делая в их условиях никаких оговорок.

Упражнения

(Звездочкой отмечены более трудные упражнения.)

1. Установить, какие из следующих утверждений верны и какие ложны:

а) множество 1, 0, —1 замкнуто относительно сложения;

б) множество 1, 0, —1 замкнуто относительно умножения;

в) множество 1, 0, —1 замкнуто относительно вычитания;

г) множество положительных степеней числа 2, т. е. множество чисел замкнуто относительно умножения;

д) множество положительных степеней числа 2 замкнуто относительно сложения.

2. Сколько делителей имеет число 30?

3. Сколько делителей имеет число 16?

4. Каково наименьшее натуральное число, имеющее в точности три делителя?

5. Найти все простые числа, заключенные между 50 и 100.

6. Доказать, что если число 3 является делителем некоторых двух чисел, то оно является также делителем их суммы и разности. Обобщая этот результат, показать, что если d является делителем двух чисел то d является также делителем чисел