§ 4. Дальнейшие примеры

В гл. III с помощью метода, применимого к довольно широкому классу чисел, было доказано, что число иррационально. Еще более широкий класс чисел можно охватить, используя следствие 1.

Рассмотрим еще раз число . Положим . Тогда

Возводя обе стороны в квадрат, имеем

откуда после несложных преобразований следует

Возведем теперь в квадрат и это равенство:

Окончательно получим

Из способа построения уравнения (5) ясно, что число является его корнем. Применяя теперь следствие 1, мы покажем, что уравнение (5) не имеет рациональных корней откуда и будет вытекать иррациональность .

В силу следствия 1 рациональные корни уравнения (5), если только они существуют, должны быть целыми делителями 1. Число 1 имеет всего два делителя: ни один из которых не является корнем уравнения; Следовательно, уравнение (5) равдональных корней не имеет, так что число иррационально.

Имеется другой путь, который приводит к тому же самому выводу: вместо проверки того, являются ли числа корнями уравнения (5), можно рассуждать следующим образом. Число отлично от чисел +1 и -1,

В этом можно убедиться, например, заметив, что как 1/2, так и больше 1, так что сумма и подавно больше —1 и +1. Следовательно, число не входит во множество возможных рациональных корней уравнения (5) независимо от того, являкся числа корнями этого уравнения или нет. Таким образом, число иррационально.

Пример. Доказать, что число иррационально.

Решение. Положим . Тогда

Возводя обе стороны в куб, получим

откуда после несложных преобразований имеем

Возводя теперь обе стороны в квадрат, получим

или

Из способа построения этого уравнения следует, что число — его корень. Но единственно возможными рациональными, корнями этого уравнения являются целые числа—делители числа 23, т. е. . Эти числа, однако, не являются корнями, как показывает непосредственная подстановка:

(Неверно, поскольку, например, слишком велико, чтобы поглотиться другими членами!)

Таким образом, рациональных корней наше уравнение не имеет, так что число заведомо иррационально.

Как и в предыдущем примере, здесь нет необходимости проверять, являются ли числа корнями рассматриваемого уравнения. Вместо этого можно доказать, что — отлично от любого из выписанных четырех возможных рациональных корней. Заметим, что приблизительно равно 1,2, а приблизительно есть 1,7. Поэтому приблизительно равно —0,5 и, стало быть, не равно ни одному из чисел . Отсюда вытекает, что корень иррационален, поскольку он отличен от всех возможных рациональных корней.

Упражнения

1. Доказать, что число иррационально.

2. Доказать, что число иррационально.

3. Доказать, что число иррационально.