§ 7. Краткие выводы

В этой главе с помощью ранее развитых методов было показано, что большинство значений тригонометрических функций и десятичных логарифмов, приближения которых имеются во всех таблицах, иррациональны.

Затем мы разделили множество действительных чисел на два новых класса — на класс алгебраических и класс трансцендентных чисел — и выяснили, в каком отношении эти новые классы находятся к введенному ранее делению действительных чисел на рациональные и иррациональные числа. Далее мы познакомились со следующим результатом, не затрагивая, впрочем вопрос об его доказательстве: если отрезок можно построить с помощью циркуля и линейки, исходя из данного отрезка единичной длины, то длина этого отрезка есть алгебраическое число степени , где k — некоторое неотрицательное целое число. (Читатель, знакомый с аналитической геометрией, может понять смысл этой теоремы о геометрических построениях, анализируя алгебраический смысл тех шагов, которые можно осуществить с помощью циркуля и линейки. Тремя основными шагами, которые, быть может, используются многократно, здесь являются следующие: нахождение точки пересечения двух уже известных прямых, прямой и окружности, двух окружностей.) Исключив, таким образок, возможность построения отрезка, длина которого есть алгебраическое число степени 3, мы убедились, что посредством циркуля и линейки нельзя удвоить куб или осуществить трисекцию произвольного угла. Мы видели также, что невозможность построения отрезка, длина которого есть трансцендентное число, влечет за собой отрицательный ответ на вопрос о возможности решения задачи о квадратуре круга.