Предположим теперь, что число
рационально, скажем

где а и b — целые числа. И здесь, как в случае
мы предположим, что дробь
несократима, в частности, что числа а и b одновременно не делятся на 3. Возводя в квадрат выписанное выше равенство и производя упрощения, получаем

Целое число
делится на 3. Поэтому делится на 3 число
, а вместе с ним и а. Пусть
, где с — целое. Заменяя а на
в равенстве
, получаем

Это показывает, что
и, следовательно, b делится на 3. Таким образом, как а, так и b делится на 3, что противоречит допущению о несократимости дроби
Тем самый доказано, что число
иррационально.