§ 4. Иррациональность числа V3

Одно из возможных доказательств иррациональности числа схоже с только что приведенным доказательством иррациональности числа . В отличие от случая однако, решающим фактором здесь является делимость на 3, а не на 2. Прежде чем переходить к доказательству, мы покажем, что квадрат целого числа делится на 3 тогда и только тогда, когда само это целое число делится на 3. Отметим, что делящееся на 3 целое число имеет вид в то время как не делящееся на 3 целое число имеет вид или . Это обстоятельство вместе с равенствами

убеждает нас в справедливости высказанного утверждения.

Предположим теперь, что число рационально, скажем

где а и b — целые числа. И здесь, как в случае мы предположим, что дробь несократима, в частности, что числа а и b одновременно не делятся на 3. Возводя в квадрат выписанное выше равенство и производя упрощения, получаем

Целое число делится на 3. Поэтому делится на 3 число , а вместе с ним и а. Пусть , где с — целое. Заменяя а на в равенстве , получаем

Это показывает, что и, следовательно, b делится на 3. Таким образом, как а, так и b делится на 3, что противоречит допущению о несократимости дроби Тем самый доказано, что число иррационально.