§ 6. Краткие выводы

Рациональные числа мы разделили на два типа: к первому типу принадлежат те числа, у которых b не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5, ко второму — все остальные. (Здесь предполагается, что дробь а/b несократима.) Числа первого типа могут быть записаны как в виде конечной, так и в виде бесконечной десятичной дроби. Например,

Числа второго типа могут быть записаны лишь в виде бесконечной десятичной дроби. Например,

Эти представления являются единственными в том смысле, что не могут быть выражены в виде никакой другой десятичной дроби, исключая, конечно, такие тривиальные формы, как 0,500. В следующей главе будет объяснено, почему это так.

Основное внимание нами было уделено рациональным числам и их десятичным представлениям. Подходя к вопросу с другой стороны, поставим во главу угла именно десятичные представления чисел. Все бесконечные десятичные дроби, встречавшиеся в этой главе, были периодическими. А что можно сказать о бесконечных непериодических десятичных дробях, таких, как

где последовательность цифр после запятой образована сериями нулей, разделенными единицами, причем первая серия содержит один нуль, вторая серия — два нуля, третья серия — три нуля и т. д.? Что за число, если это вообще число, определяет собой дробь q? Из настоящей главы мы знаем, что «число» q не может быть рациональным. В следующей главе мы расширим границы нашего исследования с тем, чтобы включить в них числа, подобные q.