§ 4. Периодические десятичные дроби

Вернемся теперь к рассмотрению рациональных чисел. Рациональные дроби были нами разделены на два типа — на представимые конечными десятичными дробями и на не представимые таким образом.

Покажем, что десятичное разложение любой дроби второго типа содержит периодически повторяющиеся части; например,

Для удобства мы воспользуемся стандартным обозначением периодических десятичных дробей, а именно повторяющуюся часть мы будем заключать в круглые скобки:

Причину появления периодичности можно понять из процедуры перевода рациональной дроби, например 2/7, в десятичную:

В процессе деления последовательными остатками являются числа 6, 4, 5. 1, 3, 2. По достижении остатка 2 цикл завершается, и мы возвращаемся к делению 20 на 7. Все остатки меньше, чем делитель, равный 7, так что имеется всего шесть различных возможных остатков, и поэтому необходимо возникнет повторение остатков.

(Остаток 0 невозможен, так как конечные десятичные разложения исключены из рассмотрения.)

В разобранном выше примере повторение обнаружилось, когда деление 20 на 7 встретилось во второй раз. При этом деление 20 на 7 было также первым шагом всего процесса деления. Повторение вовсе не обязательно возвращает нас именно к первому шагу. Рассмотрим, например, разложение в десятичную дробь числа 209/700:

Повторение здесь возникает при появлении остатка 600, который уже встречался несколькими шагами раньше. Как мы знаем, если делитель равен 700, то возможными остатками являются числа . У нас имеется, таким образом, уверенность в повторении остатка, хотя для достижения повторения, возможно, пришлось бы проделать весьма значительное число шагов.

Общий случай произвольной дроби может быть разобран аналогичным способом. Именно при делении целого числа а на целое число b в остатке могут появиться лишь следующие числа: поэтому в процессе деления неизбежно возникает повторение остатка.

С этого места начинается новый цикл; результатом деления является периодическая десятичная дробь.

Таким образом, нами доказана половина следующего предложения:

Всякое рациональное число а/b представимо как конечная или бесконечная периодическая десятичная дробь; обратно, любая конечная, а также любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляют собой некоторое рациональное число.

Вторая половина этого предложения, которую нам еще только предстоит доказать, касается двух типов десятичных дробей — конечных и бесконечных периодических. Конечные десятичные дроби рассмотрены были выше, и мы видели, что они представляют собой рациональные числа. Обратимся теперь к бесконечным периодическим десятичным дробям. Покажем сначала, что некоторая конкретная бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой рациональное число. После разбора частного случая тот же метод будет применен к произвольной периодической десятичной дроби.

Рассмотрим бесконечную периодическую десятичную дробь:

или, в иной записи,

Умножим ее сначала на одно число, затем — на другое; числа, на которые мы умножаем дробь, выбираются таким образом, чтобы при вычитании одного произведения из другого бесконечная периодическая часть сократилась бы. В нашем примере в качестве таких множителей можно взять числа и , поскольку

и

так что разность равна

Следовательно,

и, стало быть, число рациональное.

Обобщая использованный метод, мы покажем, что множители и не были «взяты с потолка», а были выбраны согласно определенному правилу. Ниже целая часть десятичной дроби (в рассмотренном выше примере равная 28) опускается, поскольку в доказательстве она не играет существенной роли. Любую бесконечную периодическую десятичную дробь (без целой части) можно записать в виде

где обозначают s последовательных цифр неповторяющейся части, а суть t цифр периода. В рассмотренном примере . Если умножить сначала на затем на и второе произведение вычесть из первого, то мы получим

и

так что

Следовательно, число равно отношению двух целых чисел и, стало быть, рационально, что нам и требовалось доказать.

Упражнение

Найти рациональные дроби, равные следующим десятичным дробям: