§ 3. Рациональные корни алгебраических уравнений

Наша цель теперь состоит в выведении простого правила, сформулированного ниже как теорема 3, дающего возможность находить все рациональные корни любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.

Мы будем, следовательно, в состоянии отделить рациональные корни уравнения от иррациональных и тем самым установить иррациональность широкого класса чисел.

Установим сначала следующий вспомогательный результат:

Теорема 2. Пусть — такие целые числа, что и есть делитель причем и и v взаимно просты (т. е. не имеют общих простых делителей). Тогда и есть делитель w. Более обще, если и есть делитель , где n — любое целое положительное число, — взаимно просты, то и есть делитель

Прежде, чем переходить к доказательству теоремы, проиллюстрируем ее несколькими примерами.

1) Пусть . Числа 2 и 3 взаимно просты. Кроме того, 12 делится на 2, так что условия теоремы 2 выполнены. Заключение, состоящее в том, что 2 есть делитель также, очевидно, справедливо.

2) Пусть . Числа 4 и 5 взаимно просты, а 500 делится на 4. Более общее утверждение, состоящее здесь в том, что 4 есть делитель числа также справедливо.

Доказательство. Основным результатом, на который мы будем здесь опираться, является основная теорема арифметики, доказанная в приложении Б в конце книги. Согласно этой теореме, числа можно разложить на простые множители лишь одним способом. Поскольку делится на и, то все простые множители числа и являются также простыми множителями числа более того, если какое-нибудь простое число входит в разложение и в степени а, то оно входит в разложение в степени , по меньшей мере равной а (т. е. такой, что ). Далее, так как и и v не имеют общих простых множителей, то все простые множители числа и входят (и притом по меньшей мере в той же степени) и в разложение числа w. Следовательно, и есть делитель w.

Последнее утверждение теоремы можно обосновать аналогичным способом.

Из предположения, что взаимно просты, вытекает, что и и тоже взаимно просты (не имеют общих простых множителей). Отсюда, как и выше, выводим, что число нисколько не способствует делимости числа на и, поэтому и есть делитель до.

Теперь мы накопили достаточно предварительного материала, чтобы сформулировать и доказать следующее предложение:

Теорема 3. Рассмотрим произвольное алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами:

Если это уравнение имеет рациональный корень (дробь предполагается несократимой), то а является делителем , а b — делителем .

Опять, прежде чем переходить к доказательству теоремы, проиллюстрируем ее примером. Рассмотрим уравнение

Теорема утверждает, что если есть рациональный корень нашего уравнения, причем дробь несократима, то а есть делитель — 3, а b — делитель 2. Следовательно, возможными значениями для а являются а возможными значениями для b являются Объединяя эти возможности, мы видим, что все рациональные корни принадлежат следующему множеству дробей:

Выписанное множество содержит только восемь различных чисел, а именно 1, —1, 1/2, —1/2, 3, —3, 3/2, —3/2. С помощью подстановки читатель легко сможет убедиться, что в действительности корнями являются лишь числа 1, 1/2 и 3.

Доказательство. Пусть есть корень уравнения (1). Это означает, что если вместо подставить в уравнение (1) число то получается равенство

Чтобы читателю было легче следить за деталями доказательства, начнем с разбора частного случая, когда . Несколько ниже аналогичное рассуждение будет проведено и в общем случае.

При равенство (2) сводится к

Умножая это равенство на 63, получаем

Равенство (3) перепишем в виде

Вынесем в правой части b за скобку:

Из последнего равенства следует, что b — делитель числа . Применим теперь теорему 2, заменив и, v и w соответственно на b, а и . Предположение теоремы 2 об отсутствии у и и v общих простых множителей выполнено, так как дробь несократима и, стало быть, числа а и b взаимно просты. Поэтому из теоремы 2 следует, что b — делитель числа . Этот факт является частью заключения теоремы 3 для поскольку в этом случае совпадает с . Перепишем далее равенство (3) в виде

Вынесем в правой части а за скобку:

Из последнего равенства следует, что а есть делитель . С помощью рассуждения, по существу не отличающегося от приведенного выше, снова применяя теорему 2, заключаем, что а есть делитель

Таким образом, в случае теорема доказана.

Для доказательства теоремы в общем случае (для произвольного ) вернемся к уравнению (2). Умножив обе его части на получим

Равенство (4) можно переписать в виде

Вынесем справа b за скобку:

Из последнего равенства следует, что b есть делитель спап. Применим теорему 2, заменив и, v и w соответственно на b, а и , и получим, что b есть делитель

Перепишем, наконец, равенство (4) в виде

Из полученного соотношения видно, что а есть делитель . Применяя опять теорему 2, в которой заменены соответственно на а, получим, что а есть делитель . Тем самым теорема 3 доказана.

Можно было бы избежать рассуждения, занимающего предыдущий абзац, заметив, что равенство (4) симметрично и в нем b занимает точно такое же место по отношению к как а по отношению к

Посмотрим теперь, к какому результату мы придем, положив, что

Следствие 1. Рассмотрим уравнение вида

с целыми коэффициентами. Если это уравнение имеет рациональный корень, то корень этот — целый и является делителем числа

Доказательство. Рассмотрим произвольный рациональный корень Можно предположить, что число b положительно, поскольку противоположный случай можно свести к этому, отнеся знак минус к а.

В соответствии с теоремой 3 число b должно быть делителем , т. е. делителем 1. Но единственным делителем 1 являются и поэтому так как мы исключили отрицательные b. Следовательно, всякий рациональный корень имеет вид т. е. представляет собой целое число а. В силу той же теоремы 3 а есть делитель числа , что и завершает доказательство следствия.

Пример. Доказать, что число иррационально.

Решение. есть корень уравнения . Здесь, в соответствии с нашими обозначениями, .

Имеется два пути, которыми мы можем воспользоваться. Следуя первому из них, применим следствие 1, рассуждая таким образом: если бы уравнение имело рациональный корень , то этот рациональный корень должен был быть целым числом. Мы можем показать, что не есть целое число и, следовательно, не является рациональным корнем уравнения . Но оно — корень этого уравнения и поэтому должно быть иррациональным. Ясно, что число не целое, так как оно лежит между последовательными целыми числами 2 и 3. Это в свою очередь вытекает из неравенств

Второй путь использует следствие 1 в полном объеме. Согласно этому следствию, любой рациональный корень уравнения является целым числом и притом делителем числа —7. Совокупность делителей числа —7 состоит всего из четырех чисел: . Простой подстановкой легко убедиться, что ни одно из этих чисел не является корнем рассматриваемого уравнения: все равенства

ложны. Поэтому уравнение не имеет целых, а следовательно, и рациональных корней, так что число иррационально.

Пример. Доказать, что число иррационально.

Решение. есть корень уравнения . Согласно следствию 1, если это уравнение имеет рациональный корень, то он является целым числом и притом делителем числа 5. Совокупность делителей числа 5 состоит из четырех чисел . Но ни одно из этих чисел не есть корень нашего уравнения, поскольку все равенства

ложны. Следовательно, уравнение не имеет рациональных корней и число иррационально.

Приведенные два примера являются частными случаями следующего более общего результата:

Следствие 2. Число вида , где — положительные целые числа, либо иррациональное, либо целое. В последнем случае а есть степень целого числа.

Доказательство. Это утверждение вытекает из следствия 1, поскольку у а есть корень уравнения и если такое уравнение имеет рациональный корень, то он целый. Кроме того, если число у а целое и равно, скажем, k, то .

Упражнения

1. Доказать, что числа иррациональны.

2. Доказать, что число иррационально.

3. Доказать, что число иррационально.

4. Доказать, что число иррационально.

5. Доказать, что число иррационально.

6. Доказать, что число (1/3) иррационально.

7. Доказать, что теорема 3 теряет силу? если в ней опустить требование несократимости дроби