§ 3. Рациональные корни алгебраических уравнений

Макеты страниц

§ 3. Рациональные корни алгебраических уравнений

Наша цель теперь состоит в выведении простого правила, сформулированного ниже как теорема 3, дающего возможность находить все рациональные корни любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.

Мы будем, следовательно, в состоянии отделить рациональные корни уравнения от иррациональных и тем самым установить иррациональность широкого класса чисел.

Установим сначала следующий вспомогательный результат:

Теорема 2. Пусть — такие целые числа, что и есть делитель причем и и v взаимно просты (т. е. не имеют общих простых делителей). Тогда и есть делитель w. Более обще, если и есть делитель , где n — любое целое положительное число, — взаимно просты, то и есть делитель

Прежде, чем переходить к доказательству теоремы, проиллюстрируем ее несколькими примерами.

1) Пусть . Числа 2 и 3 взаимно просты. Кроме того, 12 делится на 2, так что условия теоремы 2 выполнены. Заключение, состоящее в том, что 2 есть делитель также, очевидно, справедливо.

2) Пусть . Числа 4 и 5 взаимно просты, а 500 делится на 4. Более общее утверждение, состоящее здесь в том, что 4 есть делитель числа также справедливо.

Доказательство. Основным результатом, на который мы будем здесь опираться, является основная теорема арифметики, доказанная в приложении Б в конце книги. Согласно этой теореме, числа можно разложить на простые множители лишь одним способом. Поскольку делится на и, то все простые множители числа и являются также простыми множителями числа более того, если какое-нибудь простое число входит в разложение и в степени а, то оно входит в разложение в степени , по меньшей мере равной а (т. е. такой, что ). Далее, так как и и v не имеют общих простых множителей, то все простые множители числа и входят (и притом по меньшей мере в той же степени) и в разложение числа w. Следовательно, и есть делитель w.

Последнее утверждение теоремы можно обосновать аналогичным способом.

Из предположения, что взаимно просты, вытекает, что и и тоже взаимно просты (не имеют общих простых множителей). Отсюда, как и выше, выводим, что число нисколько не способствует делимости числа на и, поэтому и есть делитель до.

Теперь мы накопили достаточно предварительного материала, чтобы сформулировать и доказать следующее предложение:

Теорема 3. Рассмотрим произвольное алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами:

Если это уравнение имеет рациональный корень (дробь предполагается несократимой), то а является делителем , а b — делителем .

Опять, прежде чем переходить к доказательству теоремы, проиллюстрируем ее примером. Рассмотрим уравнение

Теорема утверждает, что если есть рациональный корень нашего уравнения, причем дробь несократима, то а есть делитель — 3, а b — делитель 2. Следовательно, возможными значениями для а являются а возможными значениями для b являются Объединяя эти возможности, мы видим, что все рациональные корни принадлежат следующему множеству дробей:

Выписанное множество содержит только восемь различных чисел, а именно 1, —1, 1/2, —1/2, 3, —3, 3/2, —3/2. С помощью подстановки читатель легко сможет убедиться, что в действительности корнями являются лишь числа 1, 1/2 и 3.

Доказательство. Пусть есть корень уравнения (1). Это означает, что если вместо подставить в уравнение (1) число то получается равенство

Чтобы читателю было легче следить за деталями доказательства, начнем с разбора частного случая, когда . Несколько ниже аналогичное рассуждение будет проведено и в общем случае.

При равенство (2) сводится к

Умножая это равенство на 63, получаем

Равенство (3) перепишем в виде

Вынесем в правой части b за скобку:

Из последнего равенства следует, что b — делитель числа . Применим теперь теорему 2, заменив и, v и w соответственно на b, а и . Предположение теоремы 2 об отсутствии у и и v общих простых множителей выполнено, так как дробь несократима и, стало быть, числа а и b взаимно просты. Поэтому из теоремы 2 следует, что b — делитель числа . Этот факт является частью заключения теоремы 3 для поскольку в этом случае совпадает с . Перепишем далее равенство (3) в виде

Вынесем в правой части а за скобку:

Из последнего равенства следует, что а есть делитель . С помощью рассуждения, по существу не отличающегося от приведенного выше, снова применяя теорему 2, заключаем, что а есть делитель

Таким образом, в случае теорема доказана.

Для доказательства теоремы в общем случае (для произвольного ) вернемся к уравнению (2). Умножив обе его части на получим

Равенство (4) можно переписать в виде

Вынесем справа b за скобку:

Из последнего равенства следует, что b есть делитель спап. Применим теорему 2, заменив и, v и w соответственно на b, а и , и получим, что b есть делитель

Перепишем, наконец, равенство (4) в виде

Из полученного соотношения видно, что а есть делитель . Применяя опять теорему 2, в которой заменены соответственно на а, получим, что а есть делитель . Тем самым теорема 3 доказана.

Можно было бы избежать рассуждения, занимающего предыдущий абзац, заметив, что равенство (4) симметрично и в нем b занимает точно такое же место по отношению к как а по отношению к

Посмотрим теперь, к какому результату мы придем, положив, что

Следствие 1. Рассмотрим уравнение вида

с целыми коэффициентами. Если это уравнение имеет рациональный корень, то корень этот — целый и является делителем числа

Доказательство. Рассмотрим произвольный рациональный корень Можно предположить, что число b положительно, поскольку противоположный случай можно свести к этому, отнеся знак минус к а.

В соответствии с теоремой 3 число b должно быть делителем , т. е. делителем 1. Но единственным делителем 1 являются и поэтому так как мы исключили отрицательные b. Следовательно, всякий рациональный корень имеет вид т. е. представляет собой целое число а. В силу той же теоремы 3 а есть делитель числа , что и завершает доказательство следствия.

Пример. Доказать, что число иррационально.

Решение. есть корень уравнения . Здесь, в соответствии с нашими обозначениями, .

Имеется два пути, которыми мы можем воспользоваться. Следуя первому из них, применим следствие 1, рассуждая таким образом: если бы уравнение имело рациональный корень , то этот рациональный корень должен был быть целым числом. Мы можем показать, что не есть целое число и, следовательно, не является рациональным корнем уравнения . Но оно — корень этого уравнения и поэтому должно быть иррациональным. Ясно, что число не целое, так как оно лежит между последовательными целыми числами 2 и 3. Это в свою очередь вытекает из неравенств

Второй путь использует следствие 1 в полном объеме. Согласно этому следствию, любой рациональный корень уравнения является целым числом и притом делителем числа —7. Совокупность делителей числа —7 состоит всего из четырех чисел: . Простой подстановкой легко убедиться, что ни одно из этих чисел не является корнем рассматриваемого уравнения: все равенства

ложны. Поэтому уравнение не имеет целых, а следовательно, и рациональных корней, так что число иррационально.

Пример. Доказать, что число иррационально.

Решение. есть корень уравнения . Согласно следствию 1, если это уравнение имеет рациональный корень, то он является целым числом и притом делителем числа 5. Совокупность делителей числа 5 состоит из четырех чисел . Но ни одно из этих чисел не есть корень нашего уравнения, поскольку все равенства

ложны. Следовательно, уравнение не имеет рациональных корней и число иррационально.

Приведенные два примера являются частными случаями следующего более общего результата:

Следствие 2. Число вида , где — положительные целые числа, либо иррациональное, либо целое. В последнем случае а есть степень целого числа.

Доказательство. Это утверждение вытекает из следствия 1, поскольку у а есть корень уравнения и если такое уравнение имеет рациональный корень, то он целый. Кроме того, если число у а целое и равно, скажем, k, то .