§ 2. Один способ приближения числа а

Трансцендентность числа а обусловливается возможностью исключительно хорошего приближения его некоторыми рациональными числами. Сейчас мы продемонстрируем один способ приближения а. Хорошее рациональное приближение получается, если брать конечное число членов ряда (1), определяющего а. Пусть есть сумма первых членов ряда (1):

Значение целого числа будет уточнено позднее.

Отметим, что число рационально, так как его можно записать в виде суммы дробей с знаменателями, являющимися степенями 10:

Записав, далее, все эти дроби с одним и тем же знаменателем и произведя сложение, получим

где числитель t есть некоторое целое число, точное значение которого для нас неважно.

Рациональное число весьма мало отличается от а. Из (1) и (3) имеем

Десятичное разложение подобно разложению самого а, состоит лишь из нулей и единиц. Цифра 1 впервые появляется на месте, затем на и т. д. Следовательно, число меньше чем

где все цифры равны нулю, за исключением цифры 2, стоящей на месте. Иначе это можно выразить неравенством

Нам потребуется еще несколько других простых неравенств, относящихся к . Так как положительны, то положительны и все их степени. Кроме того, поскольку то для любых положительных целых , так что