§ 5. Краткие выводы

В этой главе рассматривались так называемые «алгебраические иррациональности». Мы видели, что имеется бесконечно много иррациональных чисел, а также познакомились со способами построения некоторых из них, исходя из данного иррационального числа.

Кроме того, был разработан следующий метод определения, является или данное число k иррациональным.

Сначала ищется алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами:

которому удовлетворяет значение (если мы не сможем найти такое уравнение, то наш метод не применим). Затем применяется теорема 3 или, еслисп ее следствие 1. Нередко бывает ясно, что уравнение вообще не имеет рациональных корней. Тогда k, очевидно, должно быть иррациональным корнем. Иногда на глаз видно, что k отличается от всех возможных рациональных корней уравнения, и тогда мы снова заключаем, что k иррационально. Наконец, можно непосредственной подстановкой отбирать из всех возможных рациональных корней те, которые действительно являются корнями уравнения. Тогда, чтобы доказать иррациональность числа k, нужно лишь показать, что k отличается от всех этих рациональных корней.

В следующей главе мы используем методы настоящей главы для доказательства иррациональности многих чисел, фигурирующих в таблицах тригонометрических функций, а также чисел, фигурирующих в таблицах логарифмов (здесь нам понадобится основная теорема арифметики). Наконец, прочтя следующую главу книги, мы узнаем, что существуют иррациональные числа, не являющиеся корнями никаких алгебраических уравнений с целыми коэффициентами.