ГЛАВА VI. Приближение иррациональных чисел рациональными

Настоящая глава посвящена вопросу о точности приближения иррационального числа рациональными. Как мы увидим, можно найти рациональные числа, сколь угодно мало отличающиеся, например, от . Существуют рациональные числа отличающиеся от не более, чем на не более, чем на и, вообще, не более, чем на произвольное заранее нами выбранное число. То же самое верно для любого иррационального числа, а не только для

Но чтобы найти рациональное число отличающееся от данного иррационального числа не более, чем на нужно искать дробь с очень большим знаменателем b. Если допустить такое большое значение b, как , то дробь удовлетворяющую нашему условию, найти нетрудйо. А что будет происходить, если потребовать, чтобы b было не больше , или ? Ограничение такого рода делает задачу более глубокой и более трудной. Рассматривая вопросы подобного типа, мы будем интересоваться тем, что можно сказать относительно любого иррационального числа, а не только относительно некоторых конкретных чисел, например или

При изучении приближений одного числа другими нам будут удобны терминология и обозначения, заимствованные из теории неравенств. С них мы и начнем наше изложение.