§ 7. Приложение к геометрии

Большинство учебников по геометрии оставляют пробелы в тех доказательствах, где возникает нужда в иррациональных числах.

Рис. 12.

Этот пробел связан с тем, что в доказательстве рассматривается лишь «рациональный случай», в то время как «иррациональный случай» замалчивается. Часто так обстоит дело со следующим предложением.

Теорема 1. Если три параллельные прямые пересечены двумя прямыми в точках как показано на рис. 12, то

где, например, АВ обозначает длину прямолинейного отрезка с концами А и В.

Эта теорема может быть использована для доказательства основной теоремы о подобных треугольниках: если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то соответствующие стороны треугольников пропорциональны (рис. 13).

Рис. 13.

Этот результат в свою очередь часто используется для доказательства теоремы Пифагора, так что вся тригонометрия и аналитическая геометрия практически строятся на основе указанных теорем.

Докажем теперь теорему 1 для случая, когда отношение АВ/ВС иррационально. Мы принимаем без доказательства справедливость ее для случая рационального АВ/ВС, поскольку эта часть теоремы вполне корректно доказывается во всех книгах по элементарной геометрии. Прежде, чем переходить к доказательству теоремы 1 в случае иррационального отношения АВ/ВС, полезно установить следующий предварительный результат, относящийся к тому же рис. 12.

Теорема 2. Если — такие положительные целые числа, что

то

Доказательство. Начнем с некоторого дополнительного построения, Разделим отрезок ВС на равных частей.

Пусть каждая часть имеет длину а, так что . Отложим, далее, последовательно m отрезков длины а вдоль отрезка ВА и обозначим через D более удаленный от В конец последнего из этих отрезков.

Рис. 14

Покажем сначала, что D лежит между В и А, как показано на рис. 14.

Так как и , то

но, согласно сделанному предположению,

и поэтому

Из последнего неравенства вытекает, что , поскольку обе дроби имеют один и тот же знаменатель ВС. Таким образом, DB короче АВ и, следовательно, точка D лежит внутри отрезка АВ.

Проведем, далее, из всех этих точек деления прямые параллельно АА, и пусть точке D прямой АВ соответствует точка D прямой АВ, как это показано на рис. 14,

Согласно теореме 1 для рационального случая (справедливость которой мы приняли без доказательства), ВС разделится при этом на равных частей, a DB — на равных частей одной и той же длины. Следовательно,

Но, как видно из , так что

Отметим также, что имеет место

Теорема 2. Если , то .

Теорема 2 вполне аналогична теореме 2 и доказывается так же.

Используем теперь доказанные нами теоремы 2 и 2 для того, чтобы установить справедливость теоремы 1 в том случае, когда отношение АВ/ВС равно иррациональному числу . При этом мы воспользуемся десятичным представлением , о котором говорилось в § 2.

Для иллюстрации того, что мы собираемся делать, допустим, например, что . Тогда

Рациональные дроби слева равны соответственно десятичным дробям 3; 3,1; 3,14; 3,141 и т.д., взятым из десятичного разложения Дроби справа получаются увеличением этих дробей и т. д.

Цепочка неравенств (1) бесконечна. Мы выписали только первые четыре из них. Все эти неравенства (в бесконечном числе!) полностью характеризуют то значение , которое мы рассматриваем, а именно

Иными словами, если число удовлетворяет всем неравенствам (1), то оно равно .

Разумеется, неравенства (1) относятся только к иллюстрирующему общий случай примеру, когда имеет значение . Покончив теперь с этим примером, отметим, что десятичное разложение произвольного иррационального числа дает цепочку неравенств:

(2)

однозначно определяющих , причем каждое из этих неравенств утверждает, что число заключено между определенными рациональными числами. Символы в наших неравенствах означают некоторые целые числа.

Наш план состоит в следующем: положив , показать, что , так же как и , удовлетворяет всем неравенствам (2). Поскольку неравенства (2) однозначно определяют , это будет означать полное совпадение чисел , так что

Теперь нам осталось только доказать, что удовлетворяет всем неравенствам (2). Воспользуемся для этого теоремой 2. Возьмем сначала какую-либо из дробей и т. д., например и примем ее за фигурирующее в теореме 2 рациональное число . Условие теоремы 2

сводится тогда к неравенству

имеющему место в силу соотношений (2).

Таким образом, согласно теореме 2,

т. е.

Мы видим, стало быть, что удовлетворяет неравенствам

Используя аналогичным образом теорему 2, приходим к неравенствам

и т. д. Следовательно, , так же как и , удовлетворяет всем неравенствам (2). Поэтому , что и завершает доказательство теоремы 1.