§ 3. Иррациональность числа V2

Мы дадим здесь традиционное косвенное доказательство иррациональности числа . В следующей главе будет приведено еще одно доказательство этого факта, использующее значительно более общий подход.

В гл. I было показано, что множество четных чисел, равно как и множество нечетных чисел, замкнуто относительно умножения. В частности, квадрат четного числа четен, а квадрат нечетного числа нечетен.

Допустим теперь, что число рационально, скажем

где а и b — целые числа.

Мы предположим, и в доказательстве это будет использовано, что рациональная дробь а/b несократима. Точнее, мы воспользуемся тем, что числа а и b не являются оба четными — в противном случае дробь а/b была бы сократимой. Возводя в квадрат выписанное выше равенство и производя упрощения, получаем

Число четно. Поэтому и, следовательно, а четно, скажем, , где с — целое. Заменяя а на в равенстве получаем

Число четно. Поэтому четно а вместе с ним и b. Мы пришли к заключению, что как а, так и b четно, в то время как дробь была предположена несократимой. Полученное противоречие имеет своим следствием невозможность представить в виде рациональной дроби Таким образом, число иррационально.