§ 2. Алгебраические уравнения

В предыдущей главе было показано, что числа и иррациональны. Как можно было бы ожидать (или, возможно, как читатель уже знает), такие числа, как тоже иррациональны. Нашей ближайшей целью является доказательство иррациональности всех чисел этого типа с помощью некоторой общей схемы. Для этого мы перейдем от самих чисел к простым алгебраическим уравнениям, корнями которых наши числа являются. Например, есть корень уравнения иначе говоря, число удовлетворяет уравнению Аналогично, другие указанные выше числа удовлетворяют следующим уравнениям:

Мы установим, что все эти уравнения и вообще все уравнения, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям, не имеют рациональных корней.

Предварительно нам придется определить несколько понятий, используемых для описания рассматриваемых уравнений.

Под квадратным многочленом относительно х мы понимаем выражение вида , где а, b, с — некоторые числа, называемые коэффициентами многочлена. Кубический многочлен, или многочлен степени 3, — это выражение вида . Чтобы избежать появления все новых и новых букв при возрастании степени многочлена, удобно пользоваться следующей записью:

Далее, многочлен произвольной степени (где — целое положительное число) определяется как выражение вида

где не равно 0. Алгебраическим уравнением степени мы будем называть равенство вида

Числа называются коэффициентами уравнения (1).

Пример. Определить значения степени , коэффициента и других коэффициентов в уравнении

Ответ. Из непосредственного сравнения нашей записи с формулой (1) видно, что

Отметим, что требование, чтобы все коэффициенты уравнения (1) были целыми числами, не сильнее требования рациональности коэффициентов. В самом деле, если коэффициенты рациональны, то

где все числа а и b целые.

Все эти дроби

можно переписать так, чтобы они имели одинаковый знаменатель, например произведение . Домножая затем обе части уравнения на этот общий знаменатель, мы получим новое уравнение, все коэффициенты которого целые и корни которого совпадают с корнями исходного уравнения.

Напомним, что корнем уравнения относительно называется число, которое, будучи подставленным в уравнение вместо удовлетворяет ему. Например, есть, как уже отмечалось раньше, корень уравнения .

Пример. Является ли 2/5 корнем уравнения ?

Ответ. Подставив 2/5 вместо в наше уравнение, получаем

Справедливость этого равенства проверяется простым подсчетом; следовательно, 2/5 есть корень рассматриваемого уравнения.

Теперь мы готовы перейти к нашей основной задаче. Подчеркнем еще раз, что метод, который мы собираемся использовать для решения вопроса о том, иррационально ли данное число, применим тогда и только тогда, когда можно выписать алгебраическое уравнение, для которого рассматриваемое число является корнем. Этот метод может быть использован не только для чисел, иррациональность которых была установлена в предыдущей главе, но также для любого числа, допускающего запись в виде конечной комбинации символов примененных к рациональным числам и их комбинациям. Число

является примером довольно сложного числа того типа, о котором здесь идет речь.

В этой книге мы не докажем, что все такие числа представляют собой корни алгебраических уравнений с целыми коэффициентами 1), однако будут выписаны алгебраические уравнения, корнями которых являются многие конкретные числа этого типа.

Упражнения

1. Определить значения и т. д., если роль уравнения (1) играет следующее уравнение:

2. а) Является ли корнем уравнения а) упр. 1?

б) Является ли корнем уравнения б) упр. 1?

в) Является ли 3/2 корнем уравнения в) упр. 1?

г) Является ли 2 корнем уравнения г) упр. 1?

д) Является ли —2 корнем уравнения д) упр. 1?

е) Является ли корнем уравнения а) упр. 1?

3. Доказать, что есть корень уравнения

4. Доказать, что если некоторое число есть корень алгебраического уравнения вида

с рациональными коэффициентами и т. д., то это число является также корнем некоторого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.

5. Обобщить результат предыдущего упражнения на уравнения степени n.