Введение

Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2, 3 и т. д., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много тысячилетий назад, что знаменитый математик Леопольд Кронекер мог позволить себе сказать: «Бог создал натуральные числа; все остальное - дело рук человека».

Насущные потребности повседневной жизни привели к появлению простых дробей — чисел вида и т. д. Такие числа называются рациональными числами. Им дано это название не потому, что они «разумны», а потому, что они являются отношениями целых чисел.

Рис. 1.

Натуральные числа можно представить себе в виде точек на прямой линии (рис. 1), причем каждая точка отстоит от предыдущей на отрезок единичной длины подобно тому, как, например, располагаются сантиметровые деления на рулетке.

Рациональные числа представляются точками на той же самой прямой (рис. 2), и можно считать, что они измеряют доли длины.

Рис. 2,

Значительно позднее индусами было изобретено очень важное число 0, а в начале нового времени итальянские алгебраисты открыли отрицательные числа. Нуль и отрицательные числа тоже могут представляться точками прямой линии, как показано на рис. 3.

Рис. 3.

Когда математики говорят о рациональных числах, они имеют в виду положительные и отрицательные целые числа (эти числа также могут быть представлены как отношения, например, 2 = 2/1 = 6/3 и т. д.), нуль и простые дроби. Положительные и отрицательные целые числа и нуль называются также целыми числами. Ясно, что класс рациональных чисел содержит класс целых чисел.

Еще 2500 лет назад греческими математиками было обнаружено, что нужды геометрии не обеспечиваются простыми дробями. Они были удивлены и обескуражены, заметив, что длина диагонали квадрата, стороны которого имеют длину единица (рис. 4), не может быть выражена никаким рациональным числом. (Мы докажем это в гл. III.) На современном языке это означает, что корень квадратный из 2 (который в соответствии с теоремой Пифагора является длиной диагонали такого квадрата) есть число иррациональное.

Это утверждение имеет тайой геометрический смысл: у стороны и диагонали квадрата не существует общей меры, т. е. никакой отрезок, как бы мал он ни был, не укладывается на стороне и на диагонали по целому числу раз. Иными словами, ни для какой единицы длины, как бы мала она ни была, сторона и диагональ квадрата не являются целыми кратными.

Рис. 4.

Для греков это открытие повлекло за собой значительные трудности, поскольку во многих своих геометрических доказательствах они предполагали, что любые два прямолинейных отрезка имеют общую единицу длины. Таким образом, в логической структуре евклидовой геометрии был обнаружен пробел — неполнота в рассуждениях об отношениях и пропорциях длин. В § 7 гл. III мы покажем, как может быть устранен этот пробел.

Точно так же длина окружности есть иррациональное кратное число (именно — -кратное) длины ее диаметра. Ряд других иррациональных чисел появляется при попытке вычислить значения некоторых из основных для математики функций, например при вычислении, скажем, когда равно 60°, мы придем к иррациональному числу Аналогично при отыскании значений функции даже для рациональных обычно приходят к иррациональным числам. Хотя числа, приводимые в таблицах логарифмических и тригонометрических функций, рациональны, в действительности они являются лишь рациональными приближениями к истинным значениям, которые, за небольшим числом исключений, все иррациональны.

Ясно, таким образом, что в элементарной математике целый ряд естественных путей ведет к появлению иррациональных чисел.

Действительные числа образуются всеми рациональными и иррациональными числами и являются основной числовой системой в математике. Любое геометрическое рассуждение, касающееся длин, площадей или объемов, сразу приводит к действительным числам. Геометрия дает простой интуитивный способ описания действительных чисел как чисел, требуемых для измерения всевозможных длин при помощи данной единицы длины. Если мы опять рассмотрим представление чисел точками прямой линии, то обнаружим, что хотя любой отрезок (как бы мал он ни был) содержит бесконечно много рациональных точек, он всегда содержит и много других точек (таких, как и т. д.), расстояния которых от нуля не могут быть выражены рациональными числами. Но когда рассматриваются все действительные числа, каждая точка на прямой соответствует в точности одному действительному числу, и каждому действительному числу соответствует в точности одна точка на прямой. Тот факт, что все длины могут быть выражены действительными числами, называется свойством полноты множества действительных чисел. От этого свойства зависит все развитие математического анализа.

Имеется, таким образом, два типа действительных чисел — рациональные и иррациональные. Есть еще другое, появившееся значительно позднее, разделение действительных чисел на две категории — на алгебраические и трансцендентные числа. Действительное число называется алгебраическим, если оно удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Например, число является алгебраическим, поскольку оно удовлетворяет уравнению . Действительные не алгебраические числа называются трансцендентными. Из этого определения неясно, существуют ли вообще трансцендентные, т. е. не алгебраические, числа. В 1851 г. французский математик Лиувилль установил, что трансцендентные числа существуют.

Доказательство Лиувилля состояло в указании некоторых чисел, которые, как он показал, не являются алгебраическими. В гл. VII мы установим существование трансцендентных чисел, следуя методу Лиувилля.

Позднее, в XIX в., было доказано, что я есть число трансцендентное, и тем самым доказана неразрешимость древней геометрической задачи на построение, известной под названием «квадратуры круга». Этому кругу вопросов посвящена гл. V. Другим достижением XIX в. было доказательство немецким математиком Кантором существования трансцендентных чисел посредством совершенно иного подхода. Хотя метод Кантора в противоположность методу Лиувилля и не позволяет указать ни одного трансцендентного числа в явном виде, он имеет другое преимущество — позволяет утверждать, что в известном смысле трансцендентных чисел значительно больше, чем алгебраических. Утверждение подобного рода предполагает сравнение бесконечных множеств, так как имеется бесконечно много как алгебраических, так и трансцендентных чисел. Эти идеи довольно далеки от основной линии этой книги, и поэтому доказательство Кантора существования трансцендентных чисел проводится в приложении В.

Настоящая книга построена по следующему плану. В первых трех главах рассматриваются натуральные, целые, рациональные и действительные числа. Затем в гл. IV дается стандартный способ узнавать, является ли данное число иррациональным. Глава V посвящена так называемым тригонометрическим и логарифмическим числам, т. е. тем числам, приблизительные значения которых приводятся в таблицах логарифмических и тригонометрических функций. В гл. VI обсуждается вопрос о том, сколь точно можно приблизить иррациональные числа посредством рациональных. Эта глава труднее других и имеет несколько более специальный характер. Она включена для того, чтобы дать возможность некоторым читателям познакомиться с математическими рассуждениями нового типа.

Глава VII и приложение В содержат два совершенно различных доказательства существования трансцендентных чисел. В гл. VII применяется метод Лиувилля, в приложении В — метод Кантора. Используемые в этих доказательствах методы совсем различны, и читатель будет хорошо вознагражден, если он разберет каждое из них. Доказательство гл. VII перегружено неизбежными техническими деталями. Чтобы разобраться в нем, карандаш и бумага потребуются еще больше, чем в предыдущих главах. Не исключено, что читатель может найти гл. I—V не очень сложными, гл. VI довольно трудной и гл. VII фактически недоступной для понимания. В таком случае ему предлагается отложить изучение гл. VII до того времени, когда он получше познакомится с математикой. С другой стороны, читатель, для которого главы I—V не представят большого труда, может предпочесть изучить гл. VII до гл. VI. Это возможно, так как гл. VII не зависит от остального содержания книги, за исключением одного хорошо известного результата о неравенствах, приведенного в § 1 гл. VI.

Для понимания приложения В из гл. VII нужно знать теорему о делимости многочлена на линейный двучлен (теорему 2, стр. 141), в остальном же это приложение можно читать независимо от гл. VII. Если читатель незнаком с теорией множеств, то идеи приложения В окажутся для него совсем новыми.

На приложение А, в котором доказывается бесконечность числа простых чисел, не опирается никакое из рассуждений, приводимых в этой книге. Оно включено потому, что тесно связано с основной темой, а также потому, что это изящное предложение восходит еще к Евклиду. Приложение Б, содержащее доказательство так называемой «основной теоремы арифметики» напротив, является существенным для наших рассуждений, особенно в гл. IV и V. Доказательство этой теоремы отнесено в приложение, поскольку оно довольно длинно и трудно в сравнении с доказательствами первых пяти глав. Математически мало подготовленный читатель может принять основную теорему арифметики на веру.

В конце отдельных параграфов имеется много упражнений; значительную часть их читателю следует попытаться решить, чтобы проверить свое понимание прочитанного. (Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!) Более трудные задачи отмечены звездочкой. Читатель не должен отчаиваться, если он не в состоянии решить все задачи. Успех часто зависит от его математической образованности, т. е. от знакомства с достаточно обширным набором математических приемов, полученного в результате прошлых занятий математикой. Ответы к задачам помещены в конце книги; там же даются указания к решению наиболее трудных задач.

К системе действительных чисел, рациональных и иррациональных, можно подойти на любом из нескольких уровней строгости.

В математике рассуждение называют строгим, если его заключение получается из исходного утверждения при помощи ряда предложений, логически следующих непосредственно друг из друга, а не опирается на основанную на интуиции уверенность в справедливости каких-либо из этих предложений. Уровень строгости тем выше, чем меньше мы полагаемся на интуицию. Наша цель состоит в том, чтобы дать первое знакомство с предметом, и мы выбираем для этого довольно интуитивный путь. Таким, образом, мы не принимаем никаких аксиом или постулатов за основу изучения. Будущий математик, в руки которого, возможно, попадет эта книга, в дальнейшем захочет изучить тщательное аксиоматическое построение системы действительных чисел. Почему? Причина состоит в следующем: наша трактовка носит настолько описательный характер, что некоторые из основных вопросов остаются без ответа. Например, в гл. III говорится, что действительные числа могут быть описайы тремя различными способами. Но как можем мы быть уверенными, что эти различные способы описывают одну и ту же систему? Вот пример более конкретного вопроса, на который не дается ответа в настоящей книге: из чего мы заключаем, что или что

Для ответа на такие вопросы необходимо дать точное определение операций над иррациональными числами, чего не будет здесь сделано, поскольку это не так легко, как может показаться. Лучше отложить строгое изложение до того момента, когда, изучающий станет обладать не только большим математическим умением, но и большим пониманием природы и смысла математического доказательства. Как сказал американский математик Е. Г. Мур: «Строгости этого на сегодня достаточно».

«Природа и смысл математического доказательства!» Невозможно дать здесь точное описание того, что составляет доказательство, и это является одним из наиболее загадочных и отпугивающих факторов для новичка в математике. Если природу доказательства нельзя детально описать или сформулировать, то как можно кого-нибудь ей научить? Пользуясь упрощенной аналогией, можно сказать, что ее изучают таким же образом, каким ребенок учится опознавать цвета. Он наблюдает, как другие опознают зеленые предметы, синие предметы и т. д., и затем подражает тому, что он видел. Сначала могут быть неудачи, обусловленные недостаточной ориентировкой в категориях и образцах, но в конце концов обучающийся овладевает искусством. Также обстоит дело и с загадкой математического доказательства. Некоторые из наших рассуждений предназначены дать образцы техники доказательства и тем самым познакомить читателя с понятиями и методами доказательства. Таким образом, хотя мы и не в состоянии дать никакого надежного способа определять, что является, а что не является правильным доказательством, мы все же приводим несколько соображений на этот счет и надеемся, что читатель, еще не дойдя до конца этой книги, не только сможет отличать правильные доказательства, но и будет иметь удовольствие построить некоторые из них самостоятельно.