§ 8. Краткие выводы

В настоящей главе было отмечено, что каждое действительное число может быть связано в точности с одной точкой на «действительной прямой». Мы видели также, что каждое действительное число имеет в точности одно представление в виде бесконечной десятичной дроби (при этом предполагается, что исключены представления, оканчивающиеся бесконечной последовательностью нулей, т. е. конечные десятичные дроби). Это представление иррационального числа в виде бесконечной десятичной дроби было использовано в § 7 при доказательстве весьма важной теоремы элементарной геометрии. Кроме того, была установлена иррациональность некоторых чисел, таких, как и т. д.

Примененные нами методы, однако, имеют довольно частный характер, и мы не дали никакого общего способа определения того, является ли данное число рациональным или иррациональным.

В следующей главе иррациональные числа будут изучены несколько более систематично. Мы разовьем метод, с помощью которого может быть установлена иррациональность широкого класса чисел.