Ответы и указания к упражнениям

ГЛАВА I

§ 1, стр. 19 1 а) Ложно:

б) Верно,

в) Ложно:

г) Верно,

д) Ложно: и 6 не есть целая степень двойки.

2. Восемь, именно: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

3. Пять, именно: 1, 2, 4, 8, 16.

4. 4

5.

6. Указание. Найти удачное обозначение для чисел, являющихся точными кратными данного числа

§ 3, стр. 26

§ 4, стр. 28

1. а), б) и е) верны, в), г) и д) ложны.

2. Верно во всех случаях.

3. а), в) и г) верны, б) и д) ложны.

4. а), б), в), г) верны, д) ложно.

§ 6, стр. 31

6. а) не замкнуто, б) замкнуто, в) замкнуто, г) не замкнуто, д) замкнуто, е) замкнуто, ж) замкнуто.

ГЛАВА II

§ 2, стр. 39

§ 3, стр. 45

2. а) Ложно, как видно из случая

б) верно,

в) ложно, как видно из случая

г) ложно, как видно из случая

д) ложно, как видно из случая

е) верно,

3. а) Ложно, как видно из случая дроби

б) верно,

в) ложно, как видно из случая дроби

§ 5, стр. 50

1.

2.

3. Те рациональные числа несократимо), у которых 6 не делится ни на какое простое число, отличное от 2 и 5, и у которых, кроме того, а 0г

4. Таких чисел нет.

ГЛАВА III

§ 5, стр. 63

7. Рационально,

ГЛАВА IV

§ 1, стр. 75

1. Например,

2. Например,

3. Например,

4. Например, .

5. Например,

§ 2, стр. 79

2. а) Да. б) Да. в) Да. г) Нет. д) Да. е) Нет.

4. Указание. Умножить уравнение на произведение

§ 3, стр. 85

2. Указание. Использовать теорему 1 гл. IV и один из результатов упр. 1.

7. Указание. Например, 2/2 является корнем уравнения

ГЛАВА V

§ 1, стр. 93

1. а) Указание. Заменить 0 на 40° в соотношении (5) и использовать тот факт, что

б) Указание. Использовать результат упражнения 1 а) и одно из соотношений (8).

в) Указание. Использовать первое из соотношений (8) с

г) Указание. Использовать результат упр. 1 а) и тождество .

3. Указание. В соотношении (1) заменить А на 30, В на 20 и воспользоваться затем соотношениями (3), (4), (5) и (7),

рациональны,

§ 2, стр. 95

1. а) Указание. Воспользоваться тем, что

в) Указание. Воспользоваться тем, что

г) Указание. Использовать иррациональность числа и соотношения и т. д.

§ 3, стр. 97

3. Указание. Вспомнить, что .

4. Указание. Использовать помимо других результатов, пример 3 из текста.

§ 4, стр. 101

1. а) Указание. есть корень уравнения

б) Указание корень уравнения

в) Указание есть корень уравнения

См. соотношение (5) гл. IV.

г) Указание. См. соотношение (6) гл. V.

ГЛАВА VI

§ 1, стр. 114

5. а) Ложно, например, при

б) Ложно, например, при

в) Верно.

г) Верно.

д) Верно.

е) Ложно, например, если

ж) Верно.

6.

8. Да. Различие в том, что разность и — v в б) может об ращаться в 0, а в а) не может.

§ 2, стр. 117

2. а) 1, б) 3, в) 4, г) 6, д) 5, е) 7, ж) 3, з) 31, и) —2, к) —22.

§ 3, стр. 120

3. Указание. Вывести это из теоремы 3 гл. VI.

5. Указание. Рассмотреть случай, когда и установить, что не существует несократимой дроби (или, иными словами, дроби с нечетным ), для которой

§ 4, стр. 127

1.

2.

§ 5, стр. 132

1. Указание. Рассмотреть первое целое число, большее и первое целое число, меньшее X.

2. Указание. Показать, что исключение составляет число и т равным более удаленному от X числу из двух чисел, одно из которых есть первое целое число, предшествующее X, а второе — первое целое число, следующее за X.

3. а) Например, 3/2 и 4/3.

б) Например, 3/2 и 5/3.

в) Например, 7/3 и 9/4.

4. а) Все эти числа.

б) 1/1 и 14/10, если его взять в приведенной форме 7/5.

5.

6. Указание. Доказать, что неравенства теоремы 5 неверны для и любого числа расс/ждая следующим образом. Разность либо положительна, либо отрицательна. Когда она положительна, она равна самое меньшее а когда отрицательна, равна самое большее —1/5/г.

7. а) Указание. Для доказательства неравенства двух рассматриваемых рациональных чисел использовать основную теорему арифметики, доказанную в приложении Б.

б) Указание. Показать, что неравенства теоремы 5 не могут выполняться ни для какого рационального числа у которого больше, чем b.