§ 5. Трансцендентность числа а

Теперь мы завершим доказательство трансцендентности числа а, определяемого равенством (1). Рассмотрим сначала разность с иной точки зрения.

Теорема 5. Каково бы ни било положительное целое число ,

есть целое положительное число.

Доказательство. Так как , то рассматриваемое число можно переписать в виде

Согласно (4), имеем

откуда, домножая на , получаем

Правая часть этого равенства является, очевидно, целым числом. Оно не может быть равным нулю, поскольку, согласно теореме Беря абсолютные значения, находим, что

есть целое положительное число, и теорема тем самым доказана.

Теперь мы покажем, что в противоречие с теоремой 5 задаваемое формулой (11) число заключено между 0 и 1. Для этого выберем целое число , используемое при определении так, чтобы было

Возможно ли это? Да, возможно. В самом деле, неравенство (12) эквивалентно следующему:

Показатель степени у знаменателя в последнем неравенстве можно переписать в виде

Этот показатель при фиксированном и можно сделать сколь угодно большим, если взять достаточно большим. Но и N фиксированы соотношениями (7) и (8), а не зависит ни от , ни от N. Поэтому j можно взять настолько большим, чтобы выполнялось (12).

Покажем далее, что число, определяемое формулой (11), заключено между 0 и 1. В силу теоремы 4 и неравенств (5) и (12)

Положительность рассматриваемого числа вытекает из теоремы 3.

Полученное противоречие показывает, что а не может удовлетворять никакому уравнению вида (7). Следовательно, а есть трансцендентное число.