§ 1. Неравенства

То обстоятельство, что и больше , т. е. что положительно, символически записывают следующим образом: . Конечно, если и больше v, то v меньше и; последнее обстоятельство символически записывается так: Следовательно, четыре неравенства:

представляют собой просто четыре способа выражения одного и того же основного отношения между и и v. Аналогично означает, что и больше или равно v, и это равносильно тому, что положительно или равно нулю, но не отрицательно.

Теорема 1.

а) Если и w — любое число, то

б) Если и w — любое число, то

в) Если и w — любое положительное число, то

г) Если и w — любое положительное число, то

д) Если и если и и v положительны, то но

ж) Все утверждения (а) - (е) остаются справедливыми, если знаки всюду заменены соответственно на и

Доказательство. Примем на веру следующие два правила: сумма друх положительных чисел положительна, произведение двух положительных чисел положительно.

а) Нам известно, что положительно, и нужно доказать, что тоже положительно. Но это очевидно, поскольку

б) Нам опять известно, что положительно, и нужно доказать положительность

Это тоже очевидно, поскольку

в) Нам известно, что положительно, и нужно доказать, что тоже положительно. Это следует из равенства и положительности произведения двух положительных чисел.

г) Это утверждение, по существу, содержится в в), поскольку если до положительно, то тоже положительно, и поэтому можно использовать как множитель в в) вместо до: если то

д) Так как и и v положительны, то положительно. Разность тоже положительна, поскольку Следовательно, положительно. Имеем, таким образом,

С другой стороны, поскольку в силу в) обе части неравенства можно домножить на то получим

и, следовательно,

е) Известно, что положительны, и нужно доказать, что тоже положительно. Но

так что остается лишь еще раз использовать положительность суммы положительных чисел.

ж) Один путь доказательства утверждения ж) — доказать заново соответствующий вариант каждого из утверждений Имеется, однако, более легкий путь. Доказательства утверждений основывались на следующих двух правилах: сумма двух положительных чисел положительна, произведение двух положительных чисел положительно.

С другой стороны, в то время как означает, что положительно, означает, что положительно или равно нулю, или, иными словами, что неотрицательно. Но сумма и произведение двух неотрицательных чисел неотрицательны. Из сказанного следует, что все доказательства п. а) — е) автоматически переносятся со случая случай

Рис. 18. Иллюстрация неравенства

Если числа и ни связываются с точками действительной прямой так, как это объяснялось в гл. III, то неравенство означает, что v находится левее и или что и расположено справа от v (рис. 18). Запись понимается как совокупность двух неравенств: так что v лежит между (рис. 19).

Рис. 19. Иллюстрация неравенств

Однако нам еще следует пояснить использование термина «между».

Если пишут то имеют в виду, что v находится «строго между» , т. е. что v не совпадает ни с ни с . Но если говорят просто «между» или пишут , то при этом допускаются случаи равенства v как так и . В некоторых случаях нам также оказывается удобным допустить лишь одру из этих возможностей, при этом мы пишем или Во всех случаях символическая запись точно выражает, что имеется в виду.

Упражнения

1. Доказать, что если и положительны, то

2. Доказать, что если то

3. Доказать, что член из одной части неравенства можно переносить в другую часть, изменив его знак на противоположный. В частности, показать, что если

4. Для положительных целых чисел выполняется неравенство Доказать, что

5. Определить верны или ложны следующие утверждения:

6. Некоторое иррациональное число Я лежит строго между . Записать это с помощью математических символов.

7. Доказать, что если w отрицательно и , то

8. а) Пусть — любые два различных числа, взятые из совокупности чисел . Доказать, что .

б) Если в а) не требовать, чтобы целые числах были различными, то будут ли по-прежнему справедливы неравенства