§ 5. Всякую конечную десятичную дробь можно представить в виде периодической десятичной дроби

Выше в этой главе было установлено, что некоторые рациональные числа могут быть записаны в виде конечных десятичных дробей, в то время как другие представляются бесконечными десятичными дробями. Любопытно, что любую конечную десятичную дробь (исключая нуль) можно выразить в виде бесконечной дроби. Это можно, конечно, сделать совсем очевидным способом, представив, например, 6,8 как , т. е. с помощью бесконечной последовательности нулей. Кроме такого очевидного способа перевода конечной дроби в бесконечную посредством добавления последовательности нулей, имеется другой, пожалуй, в некоторой степени удивительный прием. Начнем с хорошо известного разложения дроби 1/3:

Если обе части этого равенства домножить на 3, то в результате получится следующее равенство, выглядящее довольно странно:

Таким образом, имеется равенство между конечной десятичной дробью 1, или 1,0, и бесконечной десятичной дробью 0,99999...

Посмотрим на соотношение (1) с другой точки зрения. Обозначим бесконечную десятичную дробь 0,99999... через х:

Домножая обе части равенства (2) на 10, получаем

Вычитая отсюда (2), найдем

Таким образом, равенство (1) доказано теперь нами другим методом, отличным от первоначального. Поделим теперь равенство (1) на 10, затем на 100, на 1000, на 10000 и т. д. В результате получится целая последовательность соотношений:

Эти соотношения могут быть использованы для перевода любой конечной десятичной дроби в бесконечную. Например, можно написать

Приведем еще несколько примеров:

Описанный прием позволяет любую конечную десятичную дробь записать как бесконечную. Обратно, равенства (1) и (3) могут быть использованы для преобразования любой десятичной дроби, содержащей бесконечную последовательность девяток, в конечную десятичную дробь:

Ответ на вопрос, сколько представлений в виде десятичных дробей имеет определенное число, зависит от того, как этот вопрос понимать. В самом деле, для числа 0,43, кроме записи 0,42999, можно привести еще целый ряд представлений:

Эти представления, однако, являются столь очевидными вариациями представления 0,43, что мы не считаем их действительно от него отличающимися. Когда мы говорим о записи в виде бесконечной десятичной дроби некоторого числа, например 0,43, то имеется в виду 0,42999..., а не 0,43000....

Упражнения

1. Каждую из следующих дробей записать в виде конечной десятичной дроби:

2. Каждую из следующих дробей записать в виде бесконечной десятичной дроби:

3. Какие рациональные числа а/b имеют два существенно различных представления в виде десятичной дроби?

4. Какие рациональные числа а/b имеют три существенно различных представления в виде десятичной дроби