§ 6. Ограничения точности приближений

В теореме 3 было доказано, что для любого иррационального числа существует бесконечно много рациональных чисел таких, что

Затем в теореме 5 было установлено, что имеется бесконечно много рациональных чисел для которых

Можно ли утверждать существование бесконечно большого числа рациональных чисел для которых

Ответ на поставленный здесь вопрос положителен, однако мы не остановимся на его доказательстве. Более того, имеется замечательная теорема, согласно которой для каждого иррационального числа существует бесконечно много. рациональных чисел таких, что

причем есть наибольшее число, позволяющее сформулировать подобный результат. Это значит, что если число в знаменателях стоящих слева и справа дробей заменить на какое угодно большее число, то утверждение теоремы станет неверным.

Чтобы дать понятие о том, как можно доказать наличие ограничений, накладываемых на величину постоянной с в знаменателе дроби установим следующий результат: имеется лишь конечное число рациональных чисел для которых

Мы покажем, что в действительности (4) не имеет места ни для какого , большего 10.

Доказательство проведем косвенным путем.

Предположим, что (4) выполняется для некоторых целых чисел , где . Из неравенства

при следует, что

С другой стороны, из неравенства

при вытекает, что

Далее, прибавляя к обеим сторонам неравенств (4), получаем

Если показать, что все три числа, соединенные неравенствами (7), положительны, то их можно будет, согласно теореме 1д), возвести в квадрат с сохранением неравенств.. В силу (6) имеем

и поэтому все фигурирующие в неравенствах (7) числа положительны (ибо положительно даже меньшее из них). Возводя все части неравенства (7) в квадрат, получаем

т. е.

Отсюда, домножая на , имеем

Далее, в силу (5),

С другой стороны, тоже согласно (5),

Применяя (9) и (10) к неравенствам (8), находим

Так как число целое и заключено между то оно равно Следовательно,

что невозможно, поскольку есть число иррациональное, а числа , по предположению, целые.

Упражнения

1. а) Доказать, что при не существует рациональных чисел , таких, что

б) найти все рациональные числа удовлетворяющие этим неравенствам.

2. а) Доказать, что при не существует рациональных чисел таких, что

б) найти все рациональные числа удовлетворяющие этим неравенствам.

3. а) Доказать, что при не существует рациональных чисел таких, что

б) найти все рациональные числа удовлетворяющие этим неравенствам.