§ 3. Целые числа

Множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4,... замкнуто относительно сложения и умножения, но не замкнуто относительно вычитания. Замкнутости относительно вычитания можно достигнуть посредством расширения множества натуральных чисел добавлением к нему отрицательных чисел и нуля:

Вместе с натуральными числами эти числа образуют множество целых чисел:

Читатель, по-видимому, знаком с основными свойствами целых чисел: для любых целых а, b и с

Этими свойствами обладают все числовые системы, рассматриваемые настоящей книге.

Мы не будем обсуждать происхождение перечисленных свойств. Такоечобсуждение увело бы нас к изучению теоретических основ арифметики в сторону от разбираемой здесь темы. Нашей целью является изучение различных свойств чисел, особенно иррациональных, причем основные положения мы просим принять на веру.

Множество целых чисел уже замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения. Оно не замкнуто относительно деления, поскольку, например, результат деления 2 на 3 не есть целое число и, стало быть, деление выводит за пределы класса целых чисел.

Прежде чем заняться делением целых чисел, мы изучим остальные операции и результаты, к которым они приводят. Рассматривая сложение целых чисел, мы видим не только что сумма двух целых чисел есть целое число, но также что существует только одно целое число, являющееся суммой заданных чисел. Например, сумма есть 2, но не 5 и не какое-либо другое число. Этот факт может быть выражен следующим образом: для каждых двух данных целых чисел существует единственное третье целое число, являющееся их суммой. Аналогично обстоит дело и с умножением: для каждых двух данных целых чисел существует единственное третье целое число, являющееся их произведением.

При обсуждении деления натуральных чисел мы видели, что не всегда для двух данных натуральных чисел, скажем существует третье натуральное число , их частное, для которого Однако ясно, что всякий раз, когда такое третье число существует, оно единственно, и поэтому мы не оговаривали выше специально единственность натурального числа q, удовлетворяющего условию Однако, определяя деление в множестве целых чисел, мы уже должны специально оговорить требование единственности частного. Проанализируем причину этого различия.

Прежде всего мы должны согласиться, что желательно иметь только один ответ на каждый из следующих вопросов: сколько будет 3—7? Сколько будет ? Сколько будет 8/4? Иными словами, мы претендуем на то, чтобы результат каждой из наших операций был однозначен.

Рассмотрим теперь, однозначна ли операция деления в множестве целых чисел. Пусть по-прежнему b и d — два данных целых числа; их частное q мы определим как такое целое число, что Возьмем, к примеру, Ясно, что поскольку Соответствующее число q существует, и оно единственно. Пусть, далее, b — произвольное целое число, a d равно нулю. Мы должны найти такое q, что Если то это уравнение неразрешимо, т. е. не существует такого q, которое бы ему удовлетворяло. Если же то наше уравнение лринимает вид и ему удовлетворяет любое целое число q. Иначе говоря, если решение q уравнения и существует, то оно не единственно. В силу важности единственности результатов арифметических операций нам хочется сконструировать числовую систему таким образом, чтобы частное от деления одного целого числа на другое не только существовало, но и было единственным. Этого можно достигнуть просто запрещением деления на нуль. Теперь мы можем сказать, что целое число d называется делителем целого числа b если существует единственное целое число q, для которого (При этом, согласно проведенному выше анализу, Или можно сказать, что отличное от нуля целое число d называется делителем b, если существует целое число q, для которого (Так как число 0 исключено из совокупности возможных делителей, то частное автоматически будет единственным.)

В проведенном выше (стр. 19) рассуждении мы задавались вопросом о том, сколько делителей имеет число 35. Тогда мы ограничивались натуральными числами; соответственно этому имели четыре делителя: 1, 5, 7 и 35. Если мы теперь будем считать, что имеются в виду целые (но не обязательно натуральные) делители, то число делителей будет восемь (а именно: ±1, ±5, ±7 и ±35).

Упражнения

1. Является ли —5 делителем 35?

2. Является ли 5 делителем —35?

3. Является ли —5 делителем —35?

4. Является ли 3 делителем —35?

5. Является ли 1 делителем —35?

6. Является ли 1 делителем 0?

7. Является ли 0 делителем 1?

8. Является ли 1 делителем 1?

9. Является ли 0 делителем 0?

10. Является ли 1 делителем всякого целого числа?

И. Является ли 0 делителем 35?

12. Проверить, что имеется двадцать пять простых чисел между 1 и 100 и двадцать одно простое число между 100 и 200.