ГЛАВА VII. Существование трансцендентных чисел

Существуют ли траксдендентные числа? В настоящей заключительной главе мы дадим ответ на этот вопрос. Легко указать трансцендентное число. Совсем иное дело доказать его трансцендентность. То число а, трансцендентность которого мы установим, имеет следующую важную особенность: его десятичное разложение в основном состоит из нулей. Оно равно

где единицы стоят на местах с номерами

т. е. на местах с номерами

Символ , где k — натуральное число, читается k факториал и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1. до

Все цифры в десятичном разложении числа а, за исключением тех, номера которых выражаются факториалами целых чисел, равны нулю. Следовательно, а можно записать в виде следующей суммы отрицательных степеней 10:

Указанное число а называется числом Лиувилля, по имени французского математика, впервые доказавшего существование трансцендентных чисел.

Какое конкретное свойство числа а можно использовать для доказательства того, что оно не является алгебраическим? Таким свойством является следующее: а можно приблизить бесконечно большим количеством рациональных чисел не только с точностью до (это справедливо для любого иррационального числа, см. гл. VI), но также с точностью до и вообще с точностью до где — какое угодно положительное число; Ни одно алгебраическое число этим свойством не обладает. Если X — произвольное иррациональное число, то, как мы видели в теореме 5 гл. VI, существует бесконечно много рациональных чисел отличающихся от меньше, чем на Но если X — алгебраическое число, то его нельзя приблизить бесконечным количеством рациональных чисел более тесно — ни с точностью до ни даже с точностью до среди всех выражений вида выражение является наилучшим возможным. В течение многих лет такого рода результат об алгебраических числах составлял знаменитую проблему.

Решена она была в 1955 г. английским матема: тиком К. Ф. Ротом, который в 1958 г. на Международном конгрессе математиков в Эдинбурге (Шотландия) был награжден за эту блестящую работу медалью Филдса. Его результат получил название теоремы Туэ — Зигеля — Рота, поскольку А. Туэ и С. Л. Зигелем были установлены некоторые факты, послужившие основой для работы Рота.

Как уже было отмечено, доказать трансцендентность числа а гораздо труднее, чем просто выписать его десятичное представление. Ниже будет использован материал § 1 гл. VI, посвященного свойствам неравенств. Нам потребуется также понятие абсолютной величины числа, с которым читатель, возможно, уже знаком.

Тем не менее, рассчитывая и на читателя, для которого это понятие является новым, мы определим абсолютную величину числа и докажем некоторые ее свойства. В порядке предварительной подготовки мы докажем также теорему о делимости многочлена на двучлен.