§ 6. Слова, которыми мы пользуемся

Язык, который мы используем для описания различных классов чисел, является частью нашего исторического наследства, и поэтому он вряд ли изменится, хотя мы чувствуем, что использование некоторых слов в нем несколько необычно. Например, в повседневной речи при описании чего-либо как «иррационального» мы обычно имеем в виду нечто не воспринимаемое нашим разумом, нечто непознаваемое. Но, конечно, мы не рассматриваем иррациональные числа — например, длину диагонали единичного квадрата — как нечто непознаваемое. По-видимому, древние греки были удивлены, когда обнаружили иррациональные числа, поскольку до этого они предполагали, что каковы бы ни были два прямолинейных отрезка (например, сторона и диагональ квадрата) существуют целые числа а и b, отношение которых равно отношению длин рассматриваемых отрезков. Таким образом, слово «рациональный» в математическом смысле связано с отношением целых чисел, а «иррациональный» — с отсутствием такого отношения.

Слово «соизмеримые» также использовалось для описания двух длин, отношение которых есть рацио нальное число. Две соизмеримые длины связаны таким образом, что одна из них может быть «измерена» с помощью другой в следующем смысле: существует некоторое целое число , такое, что когда первый отрезок делится на k равных частей, каждая длины , то второй отрезок тоже делится на целое число, скажем , равных частей длины При этом отношение рассматриваемых длин равно

и, таким образом, рационально (рис. 11).

Рис. 11.

Когда отношение длин отрезков (например, стороны и диагонали квадрата) иррационально, вышеизложенная конструкция не может быть осуществлена, как бы велико ни было число k (и как бы мал соответственно ни был отрезок )! В этом случае рассматриваемые отрезки называются несоизмеримыми.

Числа типа , общий вид которых есть , где а — рационально и — целое число, называются радикалами.

Термин «действительные числа» является еще одним примером исторического наследия. Если бы нам пришлось давать им название теперь, то мы бы их, возможно, назвали «одномерные числа». Во всяком случае, мы не рассматриваем числа, не входящие в класс действительных чисел, как «недействительные». Читатель, возможно, знаком с комплексными числами, частным случаем которых являются действительные числа.

Комплексным числом называется число вида , где а и b действительны, a i удовлетворяет соотношению . Это определение приведено здесь лишь для завершения обсуждения названий классов чисел. Содержание настоящей книги ограничивается действительными числами, и более широкого класса комплексных чисел мы здесь не коснемся.