§ 2. Приближение целыми числами

При округлении рационального числа посредством замены его на ближайшее целое число совершаемая ошибка не превосходит 1/2. Например, когда 6,3 заменяется на 6, или 9,7 заменяется на 10, или 7,5 заменяется на 7 либо на 8, ошибка каждый раз не превосходит 1/2. Если же иррациональное число заменяется ближайшим целым числом, то сделанная ошибка меньше 1/2. С этого простейшего обстоятельства мы и начнем изложение теории приближений.

Теорема 2. Каждому иррациональному числу а соответствует единственное целое число такое, что

Доказательство. Возьмем в качестве ближайшее к а целое число; например, если то мы принимаем а если , то берем . Как видно из этих примеров, может быть как первым из целых чисел, больших а, так и последним из целых чисел, меньших а, в зависимости от того, к какому из этих двух чисел а ближе. (Ясно, что к одному из них а ближе, чем к другому, поскольку в противном случае а лежало бы точно посередине между двумя последовательными целыми числами, между и было бы, следовательно, равно рациональному числу в противоречие с нашим предположением.)

Рис. 20.

То же самое можно иначе выразить следующим образом. Каждый отрезок АВ длины единица, выбранный на действительной прямой (см. рис. 20), содержит в точности одно целое число, за исключением того случая, когда точки А и В целые. Возьмем в качестве А точку, отвечающую числу а в качестве В точку, отвечающую числу . Но числа нецелые (они даже не рациональные; см. теарему IV) поэтому мы можем быть уверены, что точки А и В не целые. Обозначая через единственное целое число, принадлежащее отрезку АВ, мы видим, что лежит строго между . Таким образом,

откуда, вычитая а, получаем

Но если число лежит между —1/2 и 1/2, то то же самое верно и для числа, получаемого из него заменой знака на противоположный, так что тоже лежит между — 1/2 и 1/2.

Тем самым неравенства теоремы 2 доказаны.

Целое число единственно. В самом деле, предположим, что существует другое целое число , для которого

Тогда также

Добавляя к каждому из составляющих это неравенство чисел по а, видим, что должно удовлетворять неравенствам

Но отрезок АВ содержит лишь одно целое число, и поэтому число обязано совпадать с

Упражнения

(При выполнении этих и последующих упражнений полезно

знать, что )

1. Для следующих чисел найти ближайшие к ним целые числа:

2. Доказать, что для любого иррационального числа а существует единственное целое число q, такое, что .