ГЛАВА IV. Иррациональные числа

В настоящей и следующей главах мы увидим, что действительные числа, помимо деления на рациональные и иррациональные, могут быть разделены еще на два других класса. В первый класс входят так называемые алгебраические числа — такие числа, которые являются корнями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами. Второй класс образуют числа, не принадлежащие к первому классу; они называются трансцендентными числами. Смысл разграничения чисел первого и второго классов будет более понятен из дальнейшего. Отметим, однако, здесь же, что некоторые алгебраические числа рациональны, некоторые иррациональны, но все трансцендентные числа иррациональны.

Основная цель настоящей главы — дать систематический метод для определения того, является ли заданное алгебраическое число рациональным или иррациональным. (В действительности мы не будем рассматривать класс алгебраических чисел в его полной общности, а применим наш метод к большому числу примеров.) Но прежде чем переходить к этому методу, мы изучим некоторые простые свойства множества иррациональных чисел.

§ 1. Свойства замкнутости

В противоположность рациональным числам, множество которых, как было показано, замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления (исключая деление на нуль), множество иррациональ

Прежде чем показать это, мы докажем теорему, позволяющую построить бесконечно много иррациональных чисел, исходя из одного данного иррационального числа.

Теорема 1. Пусть а — произвольное иррациональное число и — любое рациональное число, отличное от нуля. Тогда сложение, вычитание, умножение и деление, примененные к числам , приводят к иррациональным числам. Кроме того, числа иррациональны.

Доказательство. Перечисленные результаты легко получить, применяя косвенный метод доказательства. Предположим, например, что число рационально, и пусть где — рациональное число. Тогда причем число — тоже рационально. Мы пришли, таким образом, к противоречию, поскольку число а иррационально.

Теорема утверждает, что — иррациональные числа. Случай числа уже нами разобран. Для доказательства иррациональности отметим, что этот факт есть частный случай иррациональности (нужно лишь положить здесь ), и поэтому нет необходимости рассматривать его отдельно.

Докажем оставшиеся шесть утверждений одновременно одним рассуждением. Если бы одно или более из интересующих нас выражений были рациональными, то выполнялось бы одно или более из нижеследующих равенств:

где — некоторые рациональные числа.

Разрешая выписанные уравнения относительно «неизвестного» а, получим

Правые части этих равенств являются рациональными числами в силу свойств замкнутости множества рациональных чисел. Так как а иррационально, то ни одно из этих равенств не может иметь места. Поэтому ни одно из чисел и т. д. не может быть рациональным. Доказательство теоремы, таким образом, закончено.

С помощью теоремы 1 можно построить широкий класс иррациональных чисел, исходя из одного иррационального числа, например из . Применяя каждое из утверждений теоремы, можно заключить, например, что все числа

иррациональны. Так как имеется бесконечно много рациональных чисел, которые можно использовать в каждом из первых четырех утверждений теоремы, то ясно, что таким способом можно построить бесконечное множество иррациональных чисел.

Более того, каждое из построенных таким способом чисел, например может далее быть использовано как исходное иррациональное число а в теореме 1. В результате получается новое бесконечное множество иррациональных чисел, порождаемое этим числом. В случае такими числами, например, будут

Замкнуто ли множество иррациональных чисел относительно сложения? Нет, не замкнуто.

Чтобы убедиться в этом, достаточно указать лишь одну пару иррациональных чисел, сумма которых рациональна.

В предыдущей главе было установлено, что число иррационально. Согласно теореме 1, число тоже иррационально. Но сумма чисел равная нулю, рациональна. Точно же рациональна сумма иррациональных чисел . Вообще, сумма чисел (где числа рациональны, а — иррационально) рациональна.

Незамкнутость множества иррациональных чисел относительно сложения не означает, что в результате сложения любых двух иррациональных чисел получается рациональное число. Она означает лишь, что имеется по крайней мере один случай, когда сумма иррациональных чисел рациональна. Результат сложения иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным в зависимости от чисел, фигурирующих в качестве слагаемых. В то время как сумма чисел рациональна, сумма чисел , согласно результатам предыдущей главы, иррациональна.

Замкнуто ли множество иррациональных чисел относительно вычитания? Разумеется, нет, поскольку, например, при вычитании иррационального числа из того же самого числа получается рациональное число 0.

Аналогично множество иррациональных чисел не замкнуто относительно умножения и деления. Доказательство этого настолько сходно с предыдущим рассуждением, что мы оставляем его читателю в качеств упражнения (см. ниже).

Упражнения

(При решении некоторых из этих упражнений, возможно, окажутся полезными результаты, полученные в предыдущей главе, а именно иррациональность чисел )

1. Указать два иррациональных числа, разность которых иррациональна.

2. Указать два иррациональных числа, произведение которых рационально, и тем самым доказать, что множество иррациональных чисел не замкнуто относительно умножения.

3. Указать два иррациональных числа, произведение которых иррационально.

4. Указать два иррациональных числа, частное которых рационально, и тем самым доказать, что множество иррациональных чисел не замкнуто относительно деления.

5. Указать два иррациональных числа, частное которых иррационально.

6. Доказать, что число иррационально.

7. Пусть а — положительное иррациональное число. Доказать, что число также иррационально.

8 Пусть иррациональны, а а рационально. Показать, что числа иррациональны.