§ 1. Предварительные сведения из алгебры

Любое действительное число а либо положительно, либо отрицательно, либо равно нулю. Для каждого действительного числа а определим абсолютную величину а, обозначаемую через следующим образом: , если а положительно или равно нулю, и , если а — отрицательно. Например,

Вместо того чтобы определять абсолютную величину числа отдельно для случаев, когда а положительно, отрицательно или равно нулю, можно было бы ввести ее посредством единственного равенства

поскольку, согласно принятым соглашениям, число всегда неотрицательно (т. е. положительно или равно нулю).

Из данного определения непосредственно вытекает, что если два числа равны, то равны и их абсолютные величины, т. е. если , то . Другое простое следствие определения (2) состоит в том, что числа а и —а всегда имеют одинаковые абсолютные величины: .

Важно отметить также равенство . С помощью (2) его можно доказать следующим образом:

откуда

Далее мы покажем, как связаны . Оказывается, что . Для доказательства этого неравенства, известного в более общем случае комплексных чисел как неравенство треугольника, рассмотрим отдельно несколько возможностей. Если а и b оба положительны, то

и, следовательно,

Если а и b оба отрицательны, то

так что по-прежнему

Если а и b разных знаков, одно положительно, а другое отрицательно, то при сложении происходит сокращение, и поэтому меньше, чем большее из чисел . Следовательно, в этом случае

Если одно из чисел а, b, скажем b, равно нулю, то

и, стало быть,

Таким образом, во всех случаях либо

либо

Все указанные выше результаты об абсолютных величинах для удобства собраны в следующей теореме;

Теорема 1. Если а и b — произвольные действительные числа, то

Докажем теперь одну теорему из алгебры, известную как теорема о делимости многочлена на двучлен. Мы докажем ее в специальном виде, удобном для наших дальнейших целей.

Теорема 2. Пусть — многочлен с целыми коэффициентами, и пусть рациональное число является корнем уравнения . Тогда есть делитель , т. е. существует многочлен такой, что

Более того, имеет рациональные коэффициенты и степень его на единицу меньше степени

Доказательство. Если поделить на , то получатся некоторое частное и остаток . Так как степень остатка всегда меньше степени делителя (который в нашем случае является многочленом первой степени ), то есть постоянная, не зависящая от Имеем, таким образом,

причем коэффициенты многочлена рациональны, поскольку последовательные шаги в процессе деления многочлена на многочлен представляют собой так называемые рациональные операции. Выписанное соотношение является тождеством относительно и поэтому вместо в него можно подставить число , в результате чего мы получаем . Но есть корень уравнения так что Следовательно, . Таким образом, при делении на остаток равен нулю, т. е. . Ясно, наконец, что степень на единицу меньше степени какова бы ни была степень .

Упражнения

1. Найти значения

2. В § 1 было установлено, что если , то . Верно ли обратное утверждение?

3. Доказать, что

4. а) Доказать, что при , но при ;

б) проанализировать аналогичным образом соотношение

5. При каких значениях (если такие значения вообще существуют) справедливы следующие равенства:

6. Доказать, что неравенства теоремы 5 гл. VI:

можно записать в виде

7. Доказать, что и вообще

8. Доказать, что

9. Убедиться, что 3/2 есть корень уравнения Проверить затем теорему 2, вычислив частное от деления на .